Question

【題目】已知拋物線，點(diǎn)

（1）求點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離；

（2）設(shè)斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程；

（3）是否存在定圓，使得過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，與曲線交于另外兩點(diǎn)時(shí)，總有直線也與圓相切？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在實(shí)數(shù)

【解析】

（1）由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，即可求出距離；

（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，由弦長(zhǎng)公式求出，點(diǎn)到直線的距離公式求出的高，再依據(jù)三角形的面積公式，解方程可得，進(jìn)而得到直線方程；

（3）假設(shè)存在，根據(jù)一般到特殊的原理，取，設(shè)切線為，聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)以及直線，由相切可得．再由特殊到一般，證明對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)，直線與圓相切，即可說(shuō)明存在，使得直線與圓相切．

（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

則點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為．

（2）設(shè)直線的方程為，

把方程代入拋物線，可得，

，，

，

點(diǎn)到直線的距離，

，

解得，所以直線的方程．

（3）假設(shè)存在．取，圓，設(shè)切線為，

由，解得，①

將直線代入拋物線方程，

解得，，

直線的方程為，

若直線和圓相切，可得②

由①②解得，．

下證時(shí)，對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)，直線和圓相切．

理由如下：設(shè)，， ，

由，可得，

，，

又直線與曲線相交于，，

由，代入拋物線方程可得，

可得，，

則，是方程的兩根，

即有，即，同理．

則有，，

直線，

即為，

則圓心到直線的距離為

，

由，

代入上式，化簡(jiǎn)可得，

則有對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切．