Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，…．

（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調性，并說明理由；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）理由見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先求出導函數(shù)，然后分、求得函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）首先將問題轉化為，恒成立，由此令，然后通過求導研究其單調性并求得其最大值，從而求得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）由題可知，，則，

（i）當時，，函數(shù)為上的減函數(shù)，

（ii）當時，令，得，

①若，則，此時函數(shù)為單調遞減函數(shù)；

②若，則，此時函數(shù)為單調遞增函數(shù)．

（Ⅱ）由題意，問題等價于，不等式恒成立，

即，恒成立，

令，則問題等價于不小于函數(shù)在上的最大值．

由，

當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，

所以函數(shù)在的最大值為，

故，不等式恒成立，實數(shù)的取值范圍為．