【題目】已知函數(shù)f(x)=cos xsin 2x,下列結論中正確的是________(填入正確結論的序號).
①y=f(x)的圖象關于點(2π,0)中心對稱;
②y=f(x)的圖象關于直線x=π對稱;
③f(x)的最大值為;
④f(x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù).
【答案】①④
【解析】依題意,對于①,f(4π-x)=cos(4π-x)·sin[2(4π-x)]=-cos x·sin 2x=-f(x),因此函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(2π,0)中心對稱,①正確;對于②,f=,f=-,因此f≠f,函數(shù)y=f(x)的圖象不關于直線x=π對稱,②不正確;對于③,f(x)=2sin xcos2x=2(sin x-sin3x);令t=sin x,則y=2(t-t3),t∈[-1,1],y′=2(1-3t2),當-<t<時,y′>0;當-1≤t<-或<t≤1時,y′<0,因此函數(shù)y=2(t-t3)在[-1,1]上的最大值是y=2=,即函數(shù)f(x)的最大值是,③不正確;對于④,f(-x)=-f(x),且f(2π+x)=2sin(2π+x)cos2(2π+x)=2sin xcos2x=f(x),因此函數(shù)f(x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),④正確.綜上所述,其中正確的結論是①④.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,圖中(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺銹最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方向構成,小正方形數(shù)越多刺銹越漂亮,向按同樣的規(guī)律刺銹(小正方形的擺放規(guī)律相同),設第個圖形包含個小正方形
(1)求的值
(2)求出的表達式
(3)求證:當時,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市統(tǒng)計局就2015年畢業(yè)大學生的月收入情況調查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖所示,每個分組包括左端點,不包括右端點,如第一組表示.
(1)求畢業(yè)大學生月收入在的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(3)為了分析大學生的收入與所學專業(yè)、性別等方面的關系,必須按月收入再從這10000人中按分層抽樣方法抽出100人作進一步分析,則月收入在的這段應抽取多少人?
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【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),….
(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調性,并說明理由;
(Ⅱ)若,不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè),在一個開學季內(nèi),每售出盒該產(chǎn)品獲利潤元;未售出的產(chǎn)品,每盒虧損元.根據(jù)歷史資料,得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示,該同學為這個開學季購進了盒該產(chǎn)品,以(單位:盒, )表示這個開學季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個開學季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.
(1)根據(jù)直方圖估計這個開學季內(nèi)市場需求量的中位數(shù);
(2)將表示為的函數(shù);
(3)根據(jù)直方圖估計利潤不少于元的概率.
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【題目】如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=1,E為BC中點.
(1)求證:C1D⊥D1E;
(2)在棱AA1上是否存在一點M,使得BM∥平面AD1E?若存在,求的值,若不存在,說明理由;
(3)若二面角B1AED1的大小為90°,求AD的長.
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【題目】如圖,已知橢圓C的中心在原點,其一個焦點與拋物線y2=4x的焦點相同,又橢圓C上有一點M(2,1),直線l平行于OM且與橢圓C交于A,B兩點,連接MA,MB.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當MA,MB與x軸所構成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時,求直線l在y軸上截距的取值范圍.
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【題目】如圖,過點的直線與圓相交于兩點,過點且與垂直的直線與圓的另一交點為.
(1)當點坐標為時,求直線的方程;
(2)求四邊形面積的最大值.
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