【題目】已知函數(shù)(其中是常數(shù),,),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且.
(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,試求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ), .
【解析】
試題分析:(Ⅰ)若,則,得,由,得,再求得,的值,即可求得曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求出導(dǎo)數(shù),再由,求得,令 ,得,,因為,所以,接下來分類討論與1的大小,求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求得最大值,解方程即可得,的值.
試題解析:(Ⅰ)若,則,
所以,
由,得,
所以,
所以,
所以曲線在點處的切線方程為
即.
(Ⅱ)由
得
因為,所以求得
所以,
令,得,
因為,所以
令,得
當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以,即
由,
所以
所以方程無解
當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增
所以,即
解得
由,得
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln x-.
(1)試討論f(x)在定義域上的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為,求a的值.
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【題目】為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“*”表示服藥者,“+”表示未服藥者.
(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)x的值小于1.7的概率;
(2)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大。(只需寫出結(jié)論)
(3)若指標(biāo)x小于1.7且指標(biāo)y大于60就說總生理指標(biāo)正常(例如圖中B、D兩名患者的總生理指標(biāo)正常),根據(jù)上圖,完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為總生理指標(biāo)正常與是否服藥有關(guān),說明理由;
總生理指標(biāo)正常 | 總生理指標(biāo)不正常 | 總計 | |
服藥 | |||
不服藥 | |||
總計 |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附:
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【題目】設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上,記=λ.當(dāng)∠APC為鈍角時,λ的取值范圍是________.
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若曲線在點處切線的斜率為,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)數(shù)列的前n項和為,對任意的正整數(shù)n,都有成立,記(),
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記(),設(shè)數(shù)列的前n和為,求證:對任意正整數(shù)n,都有.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,滿足 (),數(shù)列滿足 (),且
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列和的通項公式;
(2)若,求數(shù)列的前項和;
(3)若,數(shù)列的前項和為,對任意的,都有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】四棱錐的底面ABCD是邊長為2的菱形,側(cè)面PAD是正三角形,,E為AD的中點,二面角為.
證明:平面PBE;
求點P到平面ABCD的距離;
求直線BC與平面PAB所成角的正弦值.
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