Question

7．（Ⅰ）求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0垂直的直線方程．
（Ⅱ）關(guān)于x，y表示的直線l的方程為mx+y-2（m+1）=0，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （I）設(shè)要求的直線方程為x-3y+m=0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y-3=0}\\{x+y+2=0}\end{array}\right.$，可得交點(diǎn)P，把交點(diǎn)P的坐標(biāo)代入方程x-3y+m=0，解得m，進(jìn)而得出．
（II）直線l的方程為mx+y-2（m+1）=0，化為：m（x-2）+（y-2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，可得直線恒過定點(diǎn)A（2，2），因此坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的最大距離d=|OA|．

解答 解：（I）設(shè)要求的直線方程為x-3y+m=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y-3=0}\\{x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=-\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，可得交點(diǎn)$（-\frac{3}{5}，-\frac{7}{5}）$，
把交點(diǎn)代入方程x-3y+m=0，可得$-\frac{3}{5}-3×（-\frac{7}{5}）$+m=0，解得m=-$\frac{18}{5}$．
所求直線的方程為：x-3y-$\frac{18}{5}$=0，化簡得5x-15y-18=0．
（II）直線l的方程為mx+y-2（m+1）=0，
化為：m（x-2）+（y-2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得x=y=2，
∴直線恒過定點(diǎn)A（2，2），
因此坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的最大距離d=|OA|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩條相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線經(jīng)過定點(diǎn)問題、點(diǎn)到直線的距離公式、，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．