(本小題滿分13分)
已知二次函數(shù)同時滿足:①不等式的解集有且只有一個元素;②在定義域內(nèi)存在,使得不等式成立.
設(shè)數(shù)列的前項和,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)數(shù)列中,令,,求;
(3)設(shè)各項均不為零的數(shù)列中,所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)。令(為正整數(shù)),求數(shù)列的變號數(shù).
(1) ;
(2);
(3)數(shù)列共有個變號數(shù),即變號數(shù)為。
解析試題分析:(1)∵的解集有且只有一個元素,∴,
當時,函數(shù)在上高考資源網(wǎng)遞增,故不存在,使得不等式成立----------------2分
當時,函數(shù)在上高考資源網(wǎng)遞減,故存在,使得不等式成立。
綜上高考資源網(wǎng),得,,∴,
∴ ---------------4分
(2)∵ ∴
∴ --------------------8分
(3)解法一:由題設(shè)------------9分
∵時,,
∴時,數(shù)列遞增-------------------10分
∵,由,可知,即時,有且只有個變號數(shù);
又∵,即,∴此處變號數(shù)有個.
綜上高考資源網(wǎng)得 數(shù)列共有個變號數(shù),即變號數(shù)為-----------13分
解法二:由題設(shè)-----------(9分)
時,令;
又∵,∴時也有.
綜上高考資源網(wǎng)得:數(shù)列共有個變號數(shù),即變號數(shù)為-----------13分
考點:本題主要考查函數(shù)的概念,等差數(shù)列、等比數(shù)列的的基礎(chǔ)知識,“錯位相消法”,簡單不等式的解法。
點評:中檔題,本題具有較強的綜合性,本解答從處理函數(shù)問題入手,確定得到a的值,從而求得了,進一步轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題的研究!板e位相消法”是高考常常考到數(shù)列求和方法。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知,數(shù)列滿足,數(shù)列滿足;又知數(shù)列中,,且對任意正整數(shù),.
(Ⅰ)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)將數(shù)列中的第項,第項,第項,……,第項,……刪去后,剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列,求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
在數(shù)列{an}中,a1=1,an=n2[1+++…+] (n≥2,n∈N)
(1)當n≥2時,求證:=
(2)求證:(1+)(1+)…(1+)<4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題12分)已知數(shù)列是各項均不為的等差數(shù)列,公差為,為其前項和,且滿足,.數(shù)列滿足,為數(shù)列的前n項和.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前n項和;
(Ⅱ)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
正項數(shù)列的首項為,時,,數(shù)列對任意均有
(1)若,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)已知,數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,求證.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分13分)設(shè)數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列且依次成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若求數(shù)列的前項和;
(Ⅲ)若,求證:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知數(shù)列是遞增數(shù)列,且滿足。
(1)若是等差數(shù)列,求數(shù)列的通項公式;
(2)對于(1)中,令,求數(shù)列的前項和。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列的前項和為,且;數(shù)列為等差數(shù)列,且,.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若,為數(shù)列的前項和. 求:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知數(shù)列的前項和,,且的最大值為8.
(1)確定的值;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)求數(shù)列的前項和.
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