Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，D為AB的中點(diǎn)，且A₁D與底面ABC所成角的正切值為2，則三棱錐A₁-ACD外接球的表面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：首先，根據(jù)垂直關(guān)系，得到∠A₁DA就是A₁D與底面ABC所成的角，然后，設(shè)三棱錐A₁-ACD外接球的半徑為r，利用等積法求解該r，從而得到其表面積．

解答： 解：如圖示：
∵側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，
∴∠A₁DA就是A₁D與底面ABC所成的角，
在直角三角形A₁DA中，
tan∠A₁DA=

A1A

AD

=2，
∵底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且AD=1，
∴A₁A=2，
設(shè)三棱錐A₁-ACD外接球的半徑為r，
∵S_△A1DA=

1

2

×1×2=1，
CD=

3

2

×2=

3

，
∴三棱錐A₁-ACD=

1

3

×1×

3

=

3

3

，
V_{三棱錐O-A1CD}+V_{三棱錐O-A1AD}+V_{三棱錐O-A1AC}+V_{三棱錐O-ACD}
=

1

3

×

1

2

×

3

×

5

r+

1

3

×

1

2

×2×1r+

1

3

×

1

2

×2×2r+

1

3

×

1

2

×1×

3

r=

3

3

，
∴r=

2

，
∴三棱錐A₁-ACD外接球的表面積為4πr²=8π．
故答案為：8π．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了空間中垂直關(guān)系的判斷和應(yīng)用，掌握等積法在求解幾何體的外接球的半徑中的應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題．