Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

(a-4)x2+2(2-a)x+a與y軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離不大于1；
（1）求a的范圍；
（2）是否存在這樣的區(qū)間，使對(duì)任意a，f（x）在該區(qū)間上為增函數(shù)？若存在，求出該區(qū)間，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)為（0，a），則|a|≤1，從而可求
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為增函數(shù)可得f'（x）＞0對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可求x的范圍

解答：解：（1）函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)為（0，a），則|a|≤1，∴-1≤a≤1；------------------（3分）
（2）f'（x）=x²+（a-4）x+2（2-a）=（x-2）a+x²-4x+4，---------------（7分）
令f'（x）＞0對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，
即不等式g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，---（9分）
其充要條件是：

g(1)=x2-3x+2＞0 g(-1)=x2-5x+6＞0

，------------（11分）
解得x＜1，或x＞3．--------------（13分）
所以當(dāng)x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）時(shí)，f'（x）＞0對(duì)任意a∈[-1，1]恒成立，
所以對(duì)任意a∈[-1，1]函數(shù)f（x）均是單調(diào)增函數(shù)．--------------（14分）
故存在區(qū)間（-∞，1）和（3，+∞），對(duì)任意a∈[-1，1]，f（x）在該區(qū)間內(nèi)均是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù) 的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)得到f'（x）＞0對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立時(shí)，構(gòu)造關(guān)于a的一次函數(shù)進(jìn)行求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用．