Question

定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)）使得f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個承托函數(shù)，則下列說法正確的是（　�。�

• A、函數(shù)f（x）=x²-2x不存在承托函數(shù)
• B、g（x）=x為函數(shù)f（x）=sinx的一個承托函數(shù)
• C、g（x）=x為函數(shù)f（x）=e^x-1的一個承托函數(shù)
• D、函數(shù)f(x)=

  2x

  x2-x+1

  不存在承托函數(shù)

Answer 1

分析：函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)）是函數(shù)f（x）的一個承托函數(shù)，即說明函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方（至多有一個交點）A、g（x）=-1是函數(shù)f（x）=x²-2x的一個承托函數(shù)；故A做；B、舉例可以說明，當x=

π

2

時，可知f（x）＜g（x），可知結(jié)論錯誤；C、要說明g（x）=x為函數(shù)f（x）=e^x-1的一個承托函數(shù)；即證明F（x）=e^x-x-1的圖象恒在x軸上方；④g（x）=-1是函數(shù)f(x)=

2x

x2-x+1

的一個承托函數(shù)，因此D錯．

解答：解：A、令g（x）=-1，則總有f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，因此g（x）=-1是函數(shù)f（x）=x²-2x的一個承托函數(shù)，故A錯；
B、令x=

π

2

，則g（

π

2

）=

π

2

＞f（

π

2

）=1，因此g（x）=x不是函數(shù)f（x）=sinx的一個承托函數(shù)，故B錯；
C、令F（x）=e^x-x-1，F(xiàn)′（x）=e^x-1=0，得x=0，
當x＜0時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
當x＞0時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，
∴當x=0時，F(xiàn)（x）取最小值：0，
即F（x）=e^x-x-1≥0恒成立，即f（x）≥g（x）恒成立，故C正確；
D、令g（x）=-1，則f(x)-g(x)=

2x

x2-x+1

+1=f(x)=

x2+x +1

x2-x+1

＞0，
∴總有f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，因此g（x）=-1是函數(shù)f(x)=

2x

x2-x+1

的一個承托函數(shù)，故D錯；
故選C．

點評：本題是以抽象函數(shù)為承托，考查學生的創(chuàng)新能力，屬中檔題，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．