Question

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x），同時滿足以下三個條件：
①f（-1）=2；②x＜0時，f（x）＞1；③對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）；
（1）求f（0），f（-4）的值； 
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥

1

16

的解集．

Answer 1

分析：（1）令x=-1，y=0可求得f（0）=1，又f（-1）=2，進一步可求得f（-2）=4，于是可求得f（-4）的值；
（2）f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1⇒f（-x）=

1

f(x)

，設(shè)x₁＜x₂，通過證明

f(x1)

f(x2)

＞1證得f（x₁）＞f（x₂），f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，再逆用條件f（x+y）=f（x）f（y），結(jié)合已知可知f（-4x²+10x）≥f（4），最后利用f（x）是R的減函數(shù)，脫掉“f”，解不等式-4x²+10x≤4，即可得到答案．

解答：解：（1）f（-1+0）=f（-1）f（0），
∴f（0）=1，又f（-1）=2，
∴f（-2）=f（-1-1）=f²（-1）=4，
f（-4）=f（-2-2）=f²（-2）=16；
（2）∵f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1，
∴f（-x）=

1

f(x)

，
任取x₁＜x₂，
則

f(x1)

f(x2)

=f（x₁）f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂），f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)．
∴f（4）f（-4）=1⇒f（4）=

1

f(-4)

=

1

16

，
即f（-4x²+10x）≥f（4）．
又∵f（x）是R的減函數(shù)，
∴-4x²+10x≤4，
解得：x≤

1

2

或x≥2，
∴原不等式的解集為{x|x≤

1

2

或x≥2}．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法的應(yīng)用，突出函數(shù)的單調(diào)性的判定與轉(zhuǎn)化思想、方程思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．