定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A、B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)x都成立,那么稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù).給出如下四個命題:
①對于給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個;
②定義域和值域都是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù);
③g(x)=2x為函數(shù)f(x)=|3x|的一個承托函數(shù);
g(x)=
12
x
為函數(shù)f(x)=x2的一個承托函數(shù).
其中正確的命題有
 
分析:函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù))是函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù),即說明函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的上方(至多有一個交點)①舉例可以說明,如f(x)=cosx,則g(x)=B(B<-1)就是它的一個承托函數(shù),且有無數(shù)個,反例如
y=tanx或y=lgx就沒有承托函數(shù);②f(x)=2x+3的定義域和值域都是R,存在一個承托函數(shù)y=2x+1,故命題②不正確;③要說明g(x)=2x為函數(shù)f(x)=|3x|的一個承托函數(shù);即證明F(x)=ex-2x的圖象恒在x軸上方;④舉反例即可.
解答:解:①如f(x)=sinx,則g(x)=B(B<-1)就是它的一個承托函數(shù),且有無數(shù)個,再如y=tanx.y=lgx就沒有承托函數(shù),∴命題①正確;
②f(x)=2x+3的定義域和值域都是R,存在一個承托函數(shù)y=2x+1,故命題②不正確;
③令F(x)═|3x|-2x=
x   x≥0
-5x    x<0
,
可見在x≥0時,函數(shù)F(x)單調遞增,最小值F(0)=0,
在x<0時,函數(shù)F(x)單調遞減,最小值大于F(0)=0,
∴F(x)≥0在R上恒成立,符合定義
∴命題③正確;
④x=1時,g(1)=
1
2
,f(1)=1,顯然g(1)<f(1),
當x=
1
4
時,g(
1
4
)=
1
8
,f(
1
4
)=
1
16
,顯然g(
1
4
)>f(
1
4
),
命題④不正確.
故答案為:①③
點評:本題是新定義題,考查對題意的理解和轉化的能力,要說明一個命題是正確的,必須給出證明,如③,對于存在性命題的探討,只需舉例說明即可,如①,對于不正確的命題,舉反例即可,如②③,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)都成立,那么稱為g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù),給出如下命題:
①定義域和值域都是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù);
②g(x)=2x為函數(shù)f(x)=ex的一個承托函數(shù);
③g(x)=
1
2
x為函數(shù)f(x)=x2的一個承托函數(shù);
④對給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個
其中正確的命題的個數(shù)是( 。
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)x都成立,那么稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù).
下列說法正確的有:
①②
①②
.(寫出所有正確說法的序號)
①對給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個;
②g(x)=ex為函數(shù)f(x)=ex的一個承托函數(shù);
③函數(shù)f(x)=
x
x2+x+1
不存在承托函數(shù);
④函數(shù)f(x)=
1
5x2-4x+11
,若函數(shù)g(x)的圖象恰為f(x)在點p(1,
1
2
)
處的切線,則g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù))使得f(x)≥g(x)對任意的x∈R都成立,則稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù),則下列說法正確的是( 。
A、函數(shù)f(x)=x2-2x不存在承托函數(shù)
B、g(x)=x為函數(shù)f(x)=sinx的一個承托函數(shù)
C、g(x)=x為函數(shù)f(x)=ex-1的一個承托函數(shù)
D、函數(shù)f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數(shù)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),同時滿足以下三個條件:
①f(-1)=2;②x<0時,f(x)>1;③對任意實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)f(y);
(1)求f(0),f(-4)的值; 
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調性,并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
116
的解集.

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