【題目】(12分)若數(shù)列{an}是的遞增等差數(shù)列,其中的a3=5,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前項的和Tn.
(3)是否存在自然數(shù)m,使得 <Tn<對一切n∈N*恒成立?若存在,求出m的值;
若不存在,說明理由.
【答案】(1) an= 2n﹣1;(2)(1﹣)=;(3)存在;理由見解析.
【解析】試題分析:(1)由于{}為等差數(shù)列, ,,,成等比數(shù)列,可設(shè)出數(shù)列{}的公差為,列方程組即可求出;(2)在求出{}的通項公式后,求出{}的通項公式,再應(yīng)用裂項相消法即可求;(3)需先求Tn的值域,要使得恒成立,則需區(qū)間()包含Tn的值域即可.
試題解析:
(1)在等差數(shù)列中,設(shè)公差為d≠0,
由題意,∴,解得.
∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
(2)由(1)知,an=2n﹣1.
則bn=
所以Tn=
(3)Tn+1﹣Tn=,
∴{Tn}單調(diào)遞增,∴Tn≥T1=.∵Tn=∴≤Tn<, 使得恒成立,只需
解之得,又因為m是自然數(shù),∴m=2.
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【題目】已知一個動圓與已知圓Q1:(x+2)2+y2=外切,與圓Q2:(x-2)2+y2=內(nèi)切,(1) 試求這個動圓圓心的軌跡方程;(2)設(shè)直線與(1)中動圓圓心軌跡交于A、B兩點,坐標原點O到直線的距離為,求△AOB面積的最大值。
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , S7=0,a3﹣2a2=12.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求Sn﹣15n+50的最小值.
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【題目】如圖,四邊形中, , , , , , 分別在上, ,現(xiàn)將四邊形沿折起,使得平面平面.
(1)當,是否在折疊后的上存在一點,使得平面?若存在,求出點位置,若不存在,說明理由;
(2)設(shè),問當為何值時,三棱錐的體積有最大值?并求出這個最大值.
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【題目】“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”是李克強總理在本屆政府工作報告中向全國人民發(fā)出的口號.某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號召,大力研發(fā)新產(chǎn)品.為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如下表所示:
已知.
(1)求出的值;
(2)已知變量, 具有線性相關(guān)關(guān)系,求產(chǎn)品銷量(件)關(guān)于試銷單價(元)的線性回歸方程;
(3)用表示用正確的線性回歸方程得到的與對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計值.當銷售數(shù)據(jù)的殘差的絕對值時,則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取2個,求抽取的2個銷售數(shù)據(jù)中至少有1個是“好數(shù)據(jù)”的概率.
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【題目】(12分)在數(shù)列中,對于任意,等式
成立,其中常數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅲ)如果關(guān)于n的不等式的解集為
,求b和c的取值范圍.
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【題目】以坐標原點為極點,以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)) .
(1)若曲線C在點(1,1)處的切線為l,求l的極坐標方程;
(2)若點A的極坐標為,且當參數(shù)t∈[0,π]時,過點A的直線m與曲線C有兩個不同的交點,試求直線m的斜率的取值范圍.
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【題目】某學校為倡導全體學生為特困學生捐款,舉行“一元錢,一片心,誠信用水”活動,學生在購水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水,便自覺向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出和收益情況,如表:
售出水量x(單位:箱) | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收益y(單位:元) | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)預測售出8箱水的收益是多少元?
附:回歸直線的最小二乘法估計公式分別為: =, =﹣,
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【題目】甲,乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件,其質(zhì)量按測試指標劃分:指標大于或等于95為正品,小于95為次品,現(xiàn)隨機抽取這兩臺車床生產(chǎn)的零件各100件進行檢測,檢測結(jié)果統(tǒng)計如下:
測試指標 | |||||
機床甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
機床乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)試分別估計甲機床、乙機床生產(chǎn)的零件為正品的概率;
(2)甲機床生產(chǎn)一件零件,若是正品可盈利160元,次品則虧損20元;乙機床生產(chǎn)一件零件,若是正品可盈利200元,次品則虧損40元,在(1)的前提下,現(xiàn)需生產(chǎn)這種零件2件,以獲得利潤的期望值為決策依據(jù),應(yīng)該如何安排生產(chǎn)最佳?
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