Question

【題目】已知一個(gè)動(dòng)圓與已知圓Q1：(x＋2)2＋y2＝外切，與圓Q2：(x－2)2＋y2＝內(nèi)切，(1) 試求這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程；(2)設(shè)直線與（1）中動(dòng)圓圓心軌跡交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為，求△AOB面積的最大值。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由兩圓位置關(guān)系得動(dòng)圓圓心與Q1，Q2距離之和為定值，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡為橢圓，最后根據(jù)定義中數(shù)值對(duì)應(yīng)幾何意義求a,b（2）先設(shè)直線方程y＝kx＋m，再根據(jù)O到直線的距離為得m2＝ (k2＋1)，由三角形面積公式知△AOB面積取最大值對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)AB取最大值，因此聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)基本不等式求弦長(zhǎng)最值

試題解析：解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意有

所以c＝，b＝1.所以所求橢圓方程為＋y2＝1.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．

①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|＝.

②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m.

由已知＝，得m2＝ (k2＋1)．

把y＝kx＋m代入橢圓方程，

整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝

(1＋k2)＝

＝＝

3＋＝3＋ (k≠0)≤3＋＝4.

當(dāng)且僅當(dāng)9k2＝，即k＝±時(shí)等號(hào)成立．

此時(shí)Δ＝12(3k2＋1－m2)＞0，

當(dāng)k＝0或不存在時(shí)，|AB|＝，綜上所述，|AB|max＝2.

所以當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取得最大值

S＝×|AB|max×＝.