Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個焦點(diǎn)F（4，0），長軸端點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）為橢圓上不同的兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若x₁+x₂=8，在x軸上是否存在一點(diǎn)D，使||=||若存在，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題設(shè)知c=4，a-c=1，∴a=5，b=3．
∴所求方程為+=1．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)D（x₀，0），由||=||，
則點(diǎn)D在線段AB的中垂線上，
又線段AB的中點(diǎn)為，
∴線段AB的中垂線方程為：
y-=-（x-4）．①
又+=1，+=1，
∴=0．
∴=-•．
在①中令y=0，∴-=（x₀-4）．
∴x₀=，∴存在點(diǎn)D為．
分析：（1）由中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個焦點(diǎn)F（4，0），我們及確定c的值，再結(jié)合長軸端點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1，我們可以求出a的值，進(jìn)而求出b值后，即可得到橢圓的方程；
（2）若存在一點(diǎn)D，使||=||，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，則D一定在線段AB的垂直平分線上，根據(jù)已知我們設(shè)出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線垂直的充要條件，構(gòu)造方程，解方程即可得到D點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的簡單性質(zhì)及直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據(jù)已知條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答此類問題的基礎(chǔ)．