已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F(4,0),長(zhǎng)軸端點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)為橢圓上不同的兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若x1+x2=8,在x軸上是否存在一點(diǎn)D,使|
DA
|=|
DB
|若存在,求出D點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)由中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F(4,0),我們及確定c的值,再結(jié)合長(zhǎng)軸端點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1,我們可以求出a的值,進(jìn)而求出b值后,即可得到橢圓的方程;
(2)若存在一點(diǎn)D,使|
DA
|=|
DB
|,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì),則D一定在線段AB的垂直平分線上,根據(jù)已知我們?cè)O(shè)出AB中點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)直線垂直的充要條件,構(gòu)造方程,解方程即可得到D點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題設(shè)知c=4,a-c=1,∴a=5,b=3.
∴所求方程為
x2
25
+
y2
9
=1.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)D(x0,0),由|
DA
|=|
DB
|,
則點(diǎn)D在線段AB的中垂線上,
又線段AB的中點(diǎn)為(4,
y1+y2
2
)
,
∴線段AB的中垂線方程為:
y-
y1+y2
2
=-
x1-x2
y1-y2
(x-4).①
x
2
1
25
+
y
2
1
9
=1,
x
2
2
25
+
y
2
2
9
=1,
x
2
1
-
x
2
2
25
+
y
2
1
-
y
2
2
9
=0.
x1-x2
y1-y2
=-
25
9
y1+y2
8

在①中令y=0,∴-
y1+y2
2
=
25(y1+y2)
72
(x0-4).
∴x0=
64
25
,∴存在點(diǎn)D為(
64
25
,0)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,其中根據(jù)已知條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答此類問(wèn)題的基礎(chǔ).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知中心在原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,
2
),且過(guò)點(diǎn)A(1,
2
)
,過(guò)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證:直線BC的斜率為定值,并求這個(gè)定值.
(3)求三角形ABC的面積最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣東)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于
1
2
,則C的方程是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的焦點(diǎn)為F1(0,3),M(x,4)(x>0)橢圓C上一點(diǎn),△MOF1的面積為
3
2

(1)求橢圓C的方程.
(2)是否存在平行于OM的直線l,使得直線l與橢圓C相較于A,B兩點(diǎn),且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程,請(qǐng)說(shuō)明理由..

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(
15
,0),直線y=x與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則橢圓方程為( 。
A、
x2
16
+y2=1
B、x2+
y2
16
=1
C、
x2
20
+
y2
5
=1
D、
x2
5
+
y2
20
=1

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