Question

已知中心在原點的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點為F1（0，3），M（x，4）（x＞0）橢圓C上一點，△MOF₁的面積為

3

2

．
（1）求橢圓C的方程．
（2）是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相較于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線l的方程，請說明理由．．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓C的焦點為F₁（0，3），可得橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

a2+9

=1，利用M（x，4）（x＞0）橢圓C上一點，△MOF₁的面積為

3

2

，求出M的坐標代入橢圓C的方程，即可確定橢圓C的方程；
（2）假設存在符合題意的直線l存在，設直線方程代入橢圓方程，消去y，可得一元二次方程，利用韋達定理，結合以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點，

OA

•

OB

=0，即可求得結論．

解答：解：（1）因為橢圓C的焦點為F₁（0，3），∴b²=a²+9，則橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

a2+9

=1
∵M（x，4）（x＞0）橢圓C上一點，△MOF₁的面積為

3

2

∴

1

2

×3×x=

3

2

，∴x=1，∴M（1，4）
代入橢圓C的方程

x2

a2

+

y2

a2+9

=1，可得

1

a2

+

16

a2+9

=1
∴a⁴-8a²-9=0
∴a²=9
∴橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

18

=1；
（2）假設存在符合題意的直線l存在，設直線方程為y=4x+m，代入橢圓方程，消去y，可得18x²+8mx+m²-18=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8m

18

，x₁x₂=

m2-18

18

，
因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點，所以

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+16x₁x₂+4m（x₁+x₂）+m²=0
∴17×

m2-18

18

-4m×

8m

18

+m²=0
∴m=±

102

此時△=64m²-72（m²-18）＞0
∴直線方程為y=4x±

102

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，確定橢圓方程，正確運用韋達定理是關鍵．