已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，an+1=
3an
2an+3

（1）證明數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列并求an的通項(xiàng)；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn•an=3（1-
1
2n
），求數(shù)列{bn}的前n和．
考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和
專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：（1）根據(jù)遞推數(shù)列的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列并求an的通項(xiàng)；
（2）求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{bn}的前n和．
解答： 解：（1）∵an+1=
3an
2an+3
，
∴取倒數(shù)得
1
an+1
=
1
an
+
2
3
，
∴{
1
an
}是等差數(shù)列，公差d=
2
3
，首項(xiàng)為
2
3
，
則
1
an
2
3
+
2
3
（n-1）=
2
3
n
則an=
3
2n
．
（2）∵bn•an=3（1-
1
2n
），
∴bn=2n（1-
1
2n
）=2n-
n
2n-1
，
∴數(shù)列{bn}的前n和Sn=b1+b2+…+bn=（2+4+…+2n）+（1+
2
2
+
3
22
+…+
n
2n-1
）=n（n+1）+（1+
2
2
+
3
22
+…+
n
2n-1
），
設(shè)Tn=1+
2
2
+
3
22
+…+
n
2n-1
，
則
1
2
Tn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
，
兩式相減得
1
2
Tn=1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
-
n
2n
=2（1-
1
2n
）-
n
2n
，
即Tn=4（1-
1
2n
）-
2n
2n
，
則Sn=n（n+1）+4（1-
1
2n
）-
2n
2n
=n2+n-4+
2+n
2n-1
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公比為q，求：
（1）該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．
（2）若q≠1，證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且角A，B，C滿足A＜B＜C，（a2+c2-b2）tanB=
3
ac
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若tanA=
2
2
，c=
3
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，?ABCD中，
AB
=
a
，
AD
=
b
，
（1）當(dāng)
a
、
b
滿足什么條件時(shí)，表示
a
+
b
與
a
-
b
的有向線段所在的直線互相垂直？
（2）當(dāng)
a
、
b
滿足什么條件時(shí)，|
a
+
b
|=|
a
-
b
|．
（3）
a
+
b
與
a
-
b
有可能為相等向量嗎？為什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集U=R，集合A={x||x-1|＜6}，B={x|
x-8
2x-1
＞0}
（1）求A∩B；
（2）求（∁UA）∪B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-x
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式af(x)≥x-
1
2
x2在x∈（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）n∈N*，求證：
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
ln(n+1)
＞
n
n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，-1）和拋物線C：y2=4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖
（1）證明：
OM
•
OP
為定值；
（2）若△POM的面積為
5
2
，求向量
OM
與
OP
的夾角；
（3）證明直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
6
)，
（Ⅰ）求f（x）的最大值及此時(shí)x的值；
（Ⅱ）求此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a=
∫
2
1
（3x2-2x）dx，則二項(xiàng)式（ax2-
1
x
）6展開式中的第4項(xiàng)為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案