Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式af(x)≥x-

1

2

x2在x∈（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）n∈N^*，求證：

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

ln(n+1)

＞

n

n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）af(x)≥x-

1

2

x2即Q(x)=

1

2

x2+aInx-(a+1)x≥o成立，求導(dǎo)數(shù)，分類討論，求出函數(shù)的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）先證明lnx≤x²-x（x=1取等號(hào)），可得當(dāng)x＞1時(shí)，

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

=

1

x-1

-

1

x

，令x=2，3，4，…，相加可得結(jié)論．

解答： 解：（I）∵f（x）=lnx-x，
∴f′(x)=

1-x

x

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）；---------------（4分）
（II）af(x)≥x-

1

2

x2即Q(x)=

1

2

x2+aInx-(a+1)x≥o成立，
Q′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

(x-a)(x-1)

x

①若a≤0時(shí)，Q'（x）在（0，1）小于0，Q（x）遞減；Q'（x）在（1，+∞）大于0，Q（x）遞增
∴Q(1)=

1

2

-(a+1)≥0，解得a≤-

1

2

，
又a≤0，故a≤-

1

2

②若0＜a≤1時(shí)，Q'（x）=0解得x=a或x=1，列表如下

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
Q'（x）	+	0	-	0	+
Q（x）	增		減		增

又Q(1)=

1

2

-(a+1)＜0，故不滿足要求
③若a＞1時(shí)，Q'（x）=0解得x=a或x=1，列表如下

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，+∞）
Q'（x）	+	0	-	0	+
Q（x）	增		減		增

同理Q(1)=

1

2

-(a+1)＜0，故也不滿足要求
綜合上述，要使不等式af(x)≥x-

1

2

x2在x∈（0，+∞）內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a∈(-∞，-

1

2

]-------------------（10分）
（ III）由（ II）知當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，Q(x)=

1

2

x2-

1

2

Inx-

1

2

x≥o
即lnx≤x²-x（x=1取等號(hào)）
∴當(dāng)x＞1時(shí)，

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

=

1

x-1

-

1

x

令x=2，3，4，…，則有

1

ln2

＞1-

1

2

，

1

ln3

＞

1

2

-

1

3

，

1

ln4

＞

1

3

-

1

4

，…，

1

ln(n+1)

＞

1

n

-

1

n+1

相加得

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

ln(n+1)

＞1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

--------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．