【題目】如圖,是菱形,對(duì)角線與的交點(diǎn)為,四邊形為梯形,,.
(1)若,求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)若,求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,,從而可得為平行四邊形,即可證明平面;
(2)只需證明平面.即可證明平面平面;
(3)作于,則為與平面所成角,在中,由余弦定理得即可.
(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,
∵是菱形的對(duì)角線,的交點(diǎn),
∴,且,
又∵,且,
∴,且,
從而為平行四邊形,
∴,
又平面,平面,
∴平面;
(2)∵四邊形為菱形,∴,
∵,是的中點(diǎn),∴,
又,∴平面,
又平面,
∴平面平面;
(3)作于,
∵平面平面,
∴平面,
則為與平面所成角,
由及四邊形為菱形,得為正三角形,
則,,,
∴為正三角形,從而,
在中,由余弦定理,
得,
∴與平面所成角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來(lái)衡量.當(dāng)時(shí),產(chǎn)品為一等品;當(dāng)時(shí),產(chǎn)品為二等品;當(dāng)時(shí),產(chǎn)品為三等品.現(xiàn)從甲、乙兩條生產(chǎn)線,各隨機(jī)抽取了100件該產(chǎn)品作為樣本,測(cè)量每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,整理得到甲、乙兩條生產(chǎn)線產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖如圖所示,視樣本的頻率為總體的概率.
(1)若從甲、乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取1件,求恰好抽到1件一等品的概率;
(2)若一件三等品、二等品、一等品的利潤(rùn)分別為10元、20元、30元,從乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,求這兩件產(chǎn)品的利潤(rùn)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)若從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件,其中抽到二等品的件數(shù)為隨機(jī)變量,且的數(shù)學(xué)期望不小于1200,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四色猜想是近代數(shù)學(xué)難題之一,四色猜想的內(nèi)容是:“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色”,如圖,一張地圖被分成了五個(gè)區(qū)域,每個(gè)區(qū)域只使用一種顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇(四種顏色不一定用完),則滿(mǎn)足四色猜想的不同涂色種數(shù)為__________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,圓的方程為為圓上三個(gè)定點(diǎn),某同學(xué)從A點(diǎn)開(kāi)始,用擲骰子的方法移動(dòng)棋子,規(guī)定:①每擲一次骰子,把一枚棋子從一個(gè)定點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到相鄰下一個(gè)定點(diǎn);②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定,若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù),則按圖中箭頭方向移動(dòng);若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為不為3的倍數(shù),則按圖中箭頭相反的方向移動(dòng).設(shè)擲骰子次時(shí),棋子移動(dòng)到A,B,C處的概率分別為例如:擲骰子一次時(shí),棋子移動(dòng)到A,B,C處的概率分別為,.
(1)分別擲骰子二次,三次時(shí),求棋子分別移動(dòng)到A,B,C處的概率;
(2)擲骰子N次時(shí),若以X軸非負(fù)半軸為始邊,以射線OA,OB,OC為終邊的角的正弦值弦值記為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某報(bào)告顯示:我國(guó)農(nóng)民工收入持續(xù)快速增長(zhǎng).某地區(qū)農(nóng)民工人均月收入增長(zhǎng)率如圖1,并將人均月收入繪制成如圖2的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖.
圖1 圖2
根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖,以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.2013年農(nóng)民工人均月收入的增長(zhǎng)率的是10%
B.2011年農(nóng)民工人均月收入是2205元
C.小明看了統(tǒng)計(jì)圖后說(shuō):“農(nóng)民工2012年的人均月收入比2011年的少了”
D.2009年到2013年這五年中,2013年農(nóng)民工人均月收入最高
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,,其中.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.
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