Question

【題目】如圖，在三棱錐D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=a，AC= a，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AC上，且AF=3FC．

（1）求三棱錐D﹣ABC的體積；
（2）求證：AC⊥平面DEF；
（3）若M為DB中點(diǎn)，N在棱AC上，且CN= CA，求證：MN∥平面DEF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，

∴S△BCD= ．

∵AC= a，∴AC2=AB2+BC2，∴AB⊥BC，

又∵平面ABC⊥平面BCD，且交線為BC，AB平面ABC，

∴AB⊥平面BCD，

∴VD﹣ABC=VA﹣BCD= =

（2）證明：取AC的中點(diǎn)H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．

∵AF=3FC，∴F為CH的中點(diǎn)．

∵E為BC的中點(diǎn)，∴EF∥BH．則EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．

（3）解：當(dāng)CN= CA時，連接CM，設(shè)CM∩DE=O，連接OF，

∵O為△BCD的垂心，∴CO= CM，

當(dāng)CF= CN時，MN∥OF，OF平面DEF，MN平面DEF，

∴MN∥平面DEF．

【解析】（1）由已知可求面積S△BCD的值，利用勾股定理可求AB⊥BC，進(jìn)而可求AB⊥平面BCD，即可計算得解三棱錐VD﹣ABC=VA﹣BCD的值．（2）取AC的中點(diǎn)H，要證明AC⊥平面DEF，可先證DE⊥AC，再證明EF⊥AC即可．（3）連接CM，設(shè)CM∩DE=O，連接OF，可求CO= CM，利用線面平行的判定定理即可證明．