【題目】有2012位學者參加某數(shù)學會議,他們中有些人相互認識,且滿足:

(1)每個人至少認識其中的671個人;

(2)對于其中任意兩個人、,若、相互不認識,則總可以通過其他人間接認識,即存在,使得認識,認識認識;

(3)不可以將2012位學者排成一排,使得相鄰的兩個人相互認識.

證明:可以將2012位學者分成兩組,其中一組能夠排成一圈,使得相鄰的人相互認識,另一組任何兩個人不認識.

【答案】見解析

【解析】

將2012位學者看作2012個點,相鄰當且僅當相互認識,這樣就得到了一個圖.

取最長的一條鏈,不妨設.

由條件(3)知.

表示與相鄰的點的集合.則.

,,,.

由鏈的最長性,知對任意的,.

下面用反證法證明:.

假設.則,矛盾.

.

.則構成一個圈.

對于余下的點:不相連.除以外的任意兩點、,若相連,則一定存在一條包含了的一條鏈,這樣就找到了比更長的鏈,矛盾.故不相連.

綜上,可以將2012位學者分成兩組,其中一組能夠排成一圈,使得相鄰的人相互認識,另一組任何兩人人不認識.

練習冊系列答案
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【題目】設函數(shù).

(1)求函數(shù)的極值點個數(shù);

(2)若,證明 .

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【題目】(本小題滿分13分)

為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.

1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元,其余3個均為10元,求

顧客所獲的獎勵額為60元的概率

顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望;

2)商場對獎勵總額的預算是60000元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成,或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計,并說明理由.

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【題目】平面上有奇數(shù)條線段,甲乙兩人做如下游戲:兩人輪流(甲先乙后)給任一條尚未設定方向的線段設定一個方向,直至某次(甲)設定后,所有線段各有了一個方向為止.如果最后得到的所有向量之和的模長不小于原來每條線段長,則甲獲勝,否則乙獲勝.問:誰有必勝策略?證明你的結(jié)論.

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),則稱為“循球數(shù)”.證明:

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(2)為循環(huán)數(shù)的一個必要不充分條件是為質(zhì)數(shù).

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【題目】為抗擊新型冠狀病毒,普及防護知識,某校開展了疫情防護網(wǎng)絡知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生,將他們的比賽成績(滿分為100分)分為6組:,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

1)求的值,并估計這100名學生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

2)在抽取的100名學生中,規(guī)定:比賽成績不低于80分為優(yōu)秀,比賽成績低于80分為非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有99%的把握認為比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關?

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數(shù)據(jù):.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

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