【題目】設(shè)的個(gè)子集滿足:(1)對(duì)任意的,恰有奇數(shù)個(gè)元素;(2)對(duì)任意的,都有.(3)若,則.試確定的最大值.
【答案】
【解析】
首先,下列個(gè)集合滿足條件(1),(2),(3):
,.
其次證明:.
若不然,設(shè)的個(gè)子集同時(shí)滿足(1),(2),(3).
稱滿足(3)的數(shù)對(duì)為“搭檔”,用表示集合的元素個(gè)數(shù).
先給出一個(gè)引理.
引理在奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)的圖中,必有一個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)為偶數(shù).
證明略.
回到原題.
(1)若存在,使得為奇數(shù),不妨設(shè).
則對(duì)每個(gè),由題設(shè)在中的搭檔個(gè)數(shù)為奇數(shù).
設(shè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為.
若為搭檔關(guān)系,則在對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間連一條線.這些點(diǎn)構(gòu)成的圖中每個(gè)頂點(diǎn)度數(shù)為奇數(shù),由引理,這不可能.
(2)若對(duì)任意的,為偶數(shù),設(shè).
設(shè)為除1之外的搭檔構(gòu)成的集合.則為奇數(shù).從而為偶數(shù).
再考慮這個(gè)數(shù),其中必有一個(gè)出現(xiàn)在偶數(shù)個(gè)中(否則,奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和為奇數(shù),即出現(xiàn)的總次數(shù)為奇數(shù),與為偶數(shù)矛盾)(設(shè)這個(gè)數(shù)為),則1與的公共搭檔數(shù)為偶數(shù),即為偶數(shù),與假設(shè)矛盾.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的方程為,雙曲線的一條漸近線與軸所成的夾角為,且雙曲線的焦距為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)分別為橢圓的左,右焦點(diǎn),過作直線 (與軸不重合)交橢圓于, 兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,記直線的斜率為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有2012位學(xué)者參加某數(shù)學(xué)會(huì)議,他們中有些人相互認(rèn)識(shí),且滿足:
(1)每個(gè)人至少認(rèn)識(shí)其中的671個(gè)人;
(2)對(duì)于其中任意兩個(gè)人、,若、相互不認(rèn)識(shí),則總可以通過其他人間接認(rèn)識(shí),即存在,使得認(rèn)識(shí),認(rèn)識(shí),認(rèn)識(shí);
(3)不可以將2012位學(xué)者排成一排,使得相鄰的兩個(gè)人相互認(rèn)識(shí).
證明:可以將2012位學(xué)者分成兩組,其中一組能夠排成一圈,使得相鄰的人相互認(rèn)識(shí),另一組任何兩個(gè)人不認(rèn)識(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)①證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)在上恰有一個(gè)極值點(diǎn);
②求實(shí)數(shù)的取值范圍,使得對(duì)任意的,恒有成立.
注:為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),為所有滿足下列條件的整數(shù)數(shù)列的個(gè)數(shù):
(1),,且;
(2)不存在、,使得.
試求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了進(jìn)一步激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情,某班級(jí)建立了數(shù)學(xué)英語兩個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組,兩組的人數(shù)如下表所示:
組別 性別 | 數(shù)學(xué) | 英語 |
男 | 5 | 1 |
女 | 3 | 3 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法(層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)從兩組中共抽取3名同學(xué)進(jìn)行測(cè)試.
(1)求從數(shù)學(xué)組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率;
(2)記ξ為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線: 與拋物線: 異于原點(diǎn)的交點(diǎn)為,且拋物線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn),拋物線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)若直線與拋物線交于點(diǎn), ,且,求;
(2)證明: 的面積與四邊形的面積之比為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中不低于8環(huán)的概率為,命中8環(huán)以下的概率為,現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率:先用計(jì)算器產(chǎn)生0至9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù).指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8環(huán),6、7、8、9表示命中8環(huán)以下,再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組.代表三次射擊的結(jié)果,產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù):
524207443815510013429966027954
576086324409472796544917460962
據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率為( )
A. B. C. D.
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