Question

【題目】如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點(diǎn)，

（1）求證：BD∥平面EFG；
（2）若AD=CD，AB=CB，求證：AC⊥BD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E、F、G分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，

∴FG∥BD，

又∵FG面EFG，BD面EFG．

∴BD∥面EFG．

（2）證明：取AC中點(diǎn)H，連結(jié)DH，BH，

在△ACD中，因?yàn)锳D=CD，H是AC中點(diǎn)，所以DH⊥AC

同理可證，BH⊥AC

∵BH∩DH=H，

∴AC⊥平面BHD

∵BD平面BHD，

∴AC⊥BD．

【解析】（1）要證BD∥面EFG，只需通過(guò)E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點(diǎn)，證明BD平行于面EFG內(nèi)的直線FG，即可．（2）取AC中點(diǎn)H，連結(jié)DH，BH，只要證明AC⊥平面BHD，由線面垂直的性質(zhì)可證．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)，以及對(duì)直線與平面平行的判定的理解，了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．