Question

【題目】如果定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈R，都有f（﹣x）≠﹣f（x），則稱(chēng)該函數(shù)是“β函數(shù)”．
（Ⅰ） 分別判斷下列函數(shù)：①y=2x；②y=2x+1； ③y=x2﹣2x﹣3，是否為“β函數(shù)”？（直接寫(xiě)出結(jié)論）
（Ⅱ） 若函數(shù)f（x）=sinx+cosx+a是“β函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ） 已知f（x）= 是“β函數(shù)”，且在R上單調(diào)遞增，求所有可能的集合A與B．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）①、②是“β 函數(shù)”，③不是“β函數(shù)”．…（3分）

（Ⅱ）由題意，對(duì)任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0，．

因?yàn)閒（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a．

故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a

由題意，對(duì)任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

（Ⅲ）①對(duì)任意的x≠0

（a）若x∈A且﹣x∈A，則﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），這與y=f（x）在R上單調(diào)遞增矛盾，（舍），

（b）若x∈B且﹣x∈B，則f﹣（x）=﹣x=﹣f（x），這與y=f（x）是“β函數(shù)”矛盾，（舍）．

此時(shí)，由y=f（x）的定義域?yàn)镽，故對(duì)任意的x≠0，x與﹣x恰有一個(gè)屬于A，另一個(gè)屬于B．

②假設(shè)存在x0＜0，使得x0∈A，則由x0＜ ，故f（x0）＜f（ ）．

（a）若 ，則f（ ）= ，矛盾，

（b）若 ，則f（ ）= ，矛盾．

綜上，對(duì)任意的x＜0，xA，故x∈B，即（﹣∞，0）B，則（0，+∞）A．

③假設(shè)0∈B，則f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾．故0∈A

故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0）．

經(jīng)檢驗(yàn)A=[0，+∞），B=（﹣∞，0）．符合題意

【解析】（Ⅰ）有題設(shè)可判斷。（Ⅱ）根據(jù)題意代入“β函數(shù)”的形式可得到f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a0，即a≠﹣cosx。（Ⅲ）由題意先判斷集合A和集合B內(nèi)元素的存在性。再假設(shè)存在x0＜0，由反證法得到對(duì)任意的x＜0，xA，故x∈B，即（﹣∞，0）B，則（0，+∞）A．這個(gè)結(jié)論。再討論特殊點(diǎn)假設(shè)0∈B時(shí)矛盾得到0∈A即A=[0，+∞），B=（﹣∞，0）．