Question

【題目】如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上運(yùn)動(dòng)（其中不與，重合，不與，重合），且，沿將折起，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為______；當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的半徑______.

Answer 1

【答案】1

【解析】

易知當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)平面.DN為幾何體的高，設(shè)，則，且，再由V三棱錐D-MNQ求解，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐是正三棱柱的一部分，則三棱柱的外接球即是三棱錐的外接球，設(shè)點(diǎn)，分別是上下底面正三角形的中心，則線(xiàn)段的中點(diǎn)即是三棱柱的外接球的球心求解.

當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，

這時(shí)平面.

設(shè)，則，且，

則V三棱錐D-MNQ，

當(dāng)時(shí)，三棱錐體積最大，且.此時(shí)，，

∴，

∴為等邊三角形，

∴當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，三棱錐是正三棱柱的一部分，

如圖所示：

則三棱柱的外接球即是三棱錐的外接球，

設(shè)點(diǎn)，分別是上下底面正三角形的中心，

∴線(xiàn)段的中點(diǎn)即是三棱柱的外接球的球心，

∴，

又∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

∴，

∴三棱柱的外接球的半徑.

故答案為：1；.