Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時，f（x）=2ax+

1

x2

．
（1）求f（x）在區(qū)間（0，1]上的解析式．
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若f（x）在x∈（0，1]時有最大值-6，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），易求f（-x），由函數(shù)奇偶性可得f（x）=-f（-x）；
（2）由f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，得f′（x）≥0恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可，利用函數(shù)單調(diào)性易求最值；
（3）由（2）易知a≥-1時f（x）_max=f（1）=-6；當(dāng)a＜-1時利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值，令其等于-6解出即可；

解答： 解：（1）當(dāng)x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），
則f（-x）=-2ax+

1

x2

．
又f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=2ax-

1

x2

．
故x∈（0，1]時，f（x）=2ax-

1

x2

．
（2）f′（x）=2a+

2

x3

，
∵f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0，即2a+

2

x3

≥0恒成立，亦即2a≥-

2

x3

恒成立，
又x∈（0，1]時，-

2

x3

≤-

2

13

=-2，
∴2a≥-2，即a≥-1；
（3）由（2）知a≥-1時，f（x）在（0，1]上遞增，
f（x）_max=f（1）=2a-1=-6，解得a=-

5

2

，舍去；
當(dāng)a＜-1時，f′（x）=2a+

2

x3

=

2a(x3+ 1 a )

x3

，
f（x）在（0，

3	- 1 a

）上遞增，在（

3	- 1 a

，1）上遞減，
∴f（x）_max=f（

3	- 1 a

）=-6，解得a=±2

2

，
∴a=-2

2

．

點評：該題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想．