Question

在△ABC中，角A，B，C對應邊分別是a，b，c，c=2，∠C=

π

3

．
（1）若sinA=2sinB，求△ABC面積；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求sinA．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)正弦定理和已知等式求得a和b的關系式，利用余弦定理求得a和b，最后利用三角形面積公式求得答案．
（2）利用sinC=sin（A+B），利用兩角和公式化簡整理求得sinBcosA=2sinAcosA，對cosA進行分類討論，求得sinA的值．

解答： 解：（1）∵sinA=2sinB
∴a=2b，
設a=t，則b=2t，
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

t2+4t2-4

2t2

=

1

2

=
∴t=1，即a=1，b=2，
∴S=

1

2

ab•sinC=

1

2

×1×2×

3

2

=

3

．
（2）sinC+sin（B-A）=sin（A+B）+sin（B-A）=sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sinBcosA=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA，
∴cosA=0或sinB=2sinA，
當cosA=0時，sinA=1；
當sinB=2sinA時，由正弦定理知b=2a，
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+4a2-4

4a2

=

1

2

，
∴a=

2 3

3

∵

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinA=

sinC

c

•a=

3 2

2

×

2 3

3

=

1

2

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，三角函數(shù)恒等變換的應用．考查了基礎知識的綜合運用．