【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,M,N分別為棱AB和CD的中點(diǎn),一個(gè)平面分別與棱BC,BD,AD,AC交于E,F,G,H,且MN⊥平面EFGH.給出下列六個(gè)結(jié)論:①AC⊥BD,②AB//平面EFGH,③平面ABC⊥平面EFGH,④四邊形EFGH的周長(zhǎng)為定值;⑤四邊形EFGH的面積有最大值;⑥四邊形EFGH一定是矩形,其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____.
【答案】①②④⑤⑥
【解析】
利用正四面體的性質(zhì)判斷①;利用直線與平面垂直的性質(zhì)判斷②;平面是否垂直判斷③;通過(guò)折疊與展開(kāi)判斷④;求出四邊形的面積判斷⑤;判斷四邊形的形狀判斷⑥;
在棱長(zhǎng)為1的正四面體中,對(duì)棱垂直,所以①,正確;
,分別為棱和的中點(diǎn),可知,,
一個(gè)平面分別與棱,,,交于,,,,且平面.
所以,平面,所以②正確;
同時(shí),所以四邊形一定是矩形,所以⑥正確;
平面平面,所以平面平面不正確,即③不正確;
由比例關(guān)系可知:是定值,四邊形的周長(zhǎng)為定值2,④正確;
由基本不等式的形狀,可知四邊形的面積有最大值1;所以⑤正確;
故答案為:①②④⑤⑥.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) 若,則的最小值為__________; 若有最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在長(zhǎng)方體中,點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若平面交棱于點(diǎn)F,給出下列命題:
①四棱錐的體積恒為定值;
②對(duì)于棱上任意一點(diǎn)E,在棱上均有相應(yīng)的點(diǎn)G,使得平面;
③O為底面對(duì)角線和的交點(diǎn),在棱上存在點(diǎn)H,使平面;
④存在唯一的點(diǎn)E,使得截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值.
其中為真命題的是____________________.(填寫(xiě)所有正確答案的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,,且,.
(1)證明:平面平面;
(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn),求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)場(chǎng)所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們分別記錄了2019年12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下表:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y(顆) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;并預(yù)報(bào)當(dāng)溫差為時(shí),種子發(fā)芽數(shù).
附:回歸直線方程:,其中;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣x+1.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程:
(2)若非零實(shí)數(shù)a使得f(x)axax2對(duì)x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn),延長(zhǎng)至點(diǎn),使.點(diǎn)的軌跡是曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若,是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足,證明:直線過(guò)定點(diǎn);
(3)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),且,,求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
(1)求橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng);
(2)求最大值;
(3)若直線分別與軸交于點(diǎn),求證:的面積與的面積的乘積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),且l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),過(guò)橢圓N右焦點(diǎn)的直線交拋物線M于C,D兩點(diǎn),交橢圓于G,H兩點(diǎn),且面積為3.
(1)求橢圓N的方程;
(2)當(dāng)時(shí),求.
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