Question

已知函數(shù)．

(1)若直線與的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值;

(2)設(shè)，討論曲線與曲線公共點(diǎn)的個數(shù);

(3)設(shè)，比較與的大小，并說明理由．

 

Answer 1

(1)

(2)見解析；

(3)

【解析】(1)的反函數(shù)為．

設(shè)直線與的圖象在處相切，則

，解得．

(2)曲線與的公共點(diǎn)個數(shù)等于曲線與y=m的公共點(diǎn)個數(shù)．

令，則，∴．

當(dāng)時，，在(0，2)上單調(diào)遞減;

當(dāng)時，，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，

∴在(0，+∞)上的最小值為．

當(dāng)時，曲線與y=m無公共點(diǎn);

當(dāng)，曲線與y=m恰有一個公共點(diǎn);

當(dāng)時，在區(qū)間(0，2)內(nèi)存在，使得，在(2，+∞)內(nèi)存在，使得．

由的單調(diào)性知，曲線與y=m在(0，+∞)上恰有兩個公共點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)x>0時，

若，曲線與沒有公共點(diǎn);

若，曲線與有一個公共點(diǎn);

若，曲線與有兩個公共點(diǎn)．

(3)解法一:可以證明．事實(shí)上，

．(*)

令，

則，

(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立)，

∴在[0，+∞)上單調(diào)遞增，

∴時，．

令，即得(*)式，結(jié)論得證．

解法二:

，

設(shè)函數(shù)，

則，

令，則(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立)，

∴單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x>0時，，∴單調(diào)遞增．

當(dāng)x>0時，u(x)>u(0)=0．

令，得，

∴，

因此，．