已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,定義向量
m
=(2sinB,
3
),
n
=(2cos2
B
2
-1,cos2B)
,且
m
n

(1)求函數(shù)f(x)=sin2xcosB-cos2xsinB的對(duì)稱中心;
(2)若sin2B=sinAsinC,試判斷△ABC的形狀.
分析:(1)由數(shù)量積的定義和垂直故選可得關(guān)于B的三角方程,結(jié)合B的范圍可得B值,進(jìn)而可得函數(shù)f(x)的解析式,進(jìn)而可得對(duì)稱中心;
(2)由已知結(jié)合正余弦定理可得ac=a2+c2-2ac×
1
2
,進(jìn)而可得a=c,結(jié)合B=
π
3
可得三角形的形狀.
解答:解:(1)∵
m
=(2sinB,
3
),
n
=(2cos2
B
2
-1,cos2B)
,且
m
n
,
m
n
=
m
=2sinB×(2cos2
B
2
-1)+
3
×cos2B=0

sin2B+
3
cos2B=0
tan2B=-
3
,
又B是銳角,∴2B∈(0,π)∴2B=
2
3
π
,即B=
π
3

f(x)=sin2xcosB-cos2xsinB=sin(2x-B)=sin(2x-
π
3
)

2x-
π
3
=kπ,k∈Z
,解得x=
π
6
+
2
,k∈Z

∴函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心是(
π
6
+
2
,0),k∈Z

(2)∵sin2B=sinAsinC,由正弦定理得 b2=ac
又由(1)可知B=
π
3
,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB
代入數(shù)據(jù)可得ac=a2+c2-2ac×
1
2
,即(a-c)2=0
解得a=c,又B=
π
3

∴△ABC為等邊三角形
點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式以及三角形形狀的判斷,屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a,b,c,且(b2+c2-a2)tanA=
3
bc

(1)求角A的大小;
(2)求sin(A+10°)•[1-
3
tan(A-10°)]
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足(a2+c2-b2)tanB=
3
ac,則角B為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx-
π
6
),(A>0,ω>0,x∈R)
,且f(x)的最小正周期是2π.
(1)求ω及f(0)的值;
(2)已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C,若f(A+
3
)=
8
5
,f(B+
6
)=-
30
17
,求sinC的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東莞一模)向量
a
=(
1
2
,
1
2
sinx+
3
2
cosx)
b
=(1,y)
,已知
a
b
,且有函數(shù)y=f(x).
(1)求函數(shù)y=f(x)的周期;
(2)已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若有f(A-
π
3
)=
3
,邊BC=
7
,sinB=
21
7
,求AC的長及△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•崇明縣二模)已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(1,
3
),設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b

(1)若x∈[0,π],求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊是a、b、c,若有f(A-
π
3
)=
3
,a=
7
,sinB=
21
7
,求c邊的長度.

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