（2013•東莞一模）向量
a
=(
1
2
，
1
2
sinx+
3
2
cosx)，
b
=(1，y)，已知
a
∥
b
，且有函數(shù)y=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的周期；
（2）已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若有f(A-
π
3
)=
3
，邊BC=
7
，sinB=
21
7
，求AC的長(zhǎng)及△ABC的面積．
分析：由兩向量的坐標(biāo)及平行向量滿足的條件列出關(guān)系式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理后得出f（x）的解析式；
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）由f（A-
π
3
）=
3
得sinA的值，根據(jù)三角形ABC為銳角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，確定出sinA的值，再由BC及sinB的值，利用正弦定理求出AC的長(zhǎng)，再由BC，AC及cosA的值，利用余弦定理求出AB的長(zhǎng)，由AB，AC及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：∵
a
=（
1
2
，
1
2
sinx+
3
2
cosx），
b
=（1，y），
∴
a
∥
b
=
1
2
y-（
1
2
sinx+
3
2
cosx）=0，即y=f（x）=2sin（x+
π
3
），
（1）∵ω=1，∴函數(shù)f（x）的周期為T(mén)=2π；
（2）由f（A-
π
3
）=
3
得2sin（A-
π
3
+
π
3
）=
3
，即sinA=
3
2
，
∵△ABC是銳角三角形，
∴A=
π
3
，
由正弦定理：
BC
sinA
=
AC
sinB
及條件BC=
7
，sinB=
21
7
，得AC=
BCsinB
sinA
=
7
×
21
7
3
2
=2，
又∵BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA，即7=AB2+4-2•AB×2×
1
2
，
解得：AB=3，
∴S△ABC=
1
2
AB•AC•sinA=
3
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，平行向量與共線向量，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)y=f（x）的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則函數(shù)y=f（x）對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為
x-ey=0
x-ey=0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）已知函數(shù)f（x）=lnx-
ax
，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)h（x）=x2-mx+4，當(dāng)a=2時(shí)，若?x1∈（0，1），?x2∈[1，2]，總有g(shù)（x1）≥h（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）已知函數(shù)f（x）=
(
1
3
)x，x≥3
f(x+1)，x＜3
，則f（2+log32）的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）在等差數(shù)列{an}中，若a1+a5+a9=
π
4
，則tan（a4+a6）=
3
3
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn+1}是公比為2的等比數(shù)列，a2是a1和a3的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn．

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