【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為

(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)已知為定直線上一點(diǎn).

①過點(diǎn)的垂線交軌跡于點(diǎn)不在軸上),求證:直線的斜率之積是定值;

②若點(diǎn)的坐標(biāo)為,過點(diǎn)作動直線交軌跡于不同兩點(diǎn),線段上的點(diǎn)滿足,求證:點(diǎn)恒在一條定直線上.

【答案】(1)(2)①直線的斜率之積為定值

②點(diǎn)在定直線上.

【解析】試題分析:(1)設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo),直接利用軌跡方程定義計算即可;(2),

①令,由,得,即,即,又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,而的斜率分別為,于是,即直線的斜率之積為定值; ②令,則,代入橢圓,消元即可證明點(diǎn)在定直線上.

試題解析:(1)設(shè),則,點(diǎn)到直線的距離

,得,化簡得,

即點(diǎn)在軌跡的方程為

(2)因?yàn)?/span>為直線上一點(diǎn),所以令,

①令,由,得,即,即

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,

的斜率分別為

于是

即直線的斜率之積為定值

②令,則,

令點(diǎn),則

,即

由①×③,②×④,得,

因?yàn)?/span>在橢圓上,所以,

⑤×2+⑥×3,得

,即

所以點(diǎn)在定直線上.

本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考的必考點(diǎn),屬于難題.求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程,求出即可,注意的應(yīng)用;涉及直線與圓錐曲線相交時,未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程,要特別注意直線斜率是否存在的問題,避免不分類討論造成遺漏,然后要聯(lián)立方程組,得一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫出,再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式,其中要注意判別式條件的約束作用.

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