【題目】如圖,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=1,E、F分別是AB的兩個(gè)三等分點(diǎn),AC,DF相交于點(diǎn)G,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系:
(1)若動(dòng)點(diǎn)M到D點(diǎn)距離等于它到C點(diǎn)距離的兩倍,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積;
(2)證明:E G⊥D F.

【答案】
(1)解:以A為原點(diǎn),AB所在直線(xiàn)為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,

則A(0,0),B(3,0),C(3,1),D(0,1),E(1,0),F(xiàn)(2,0).

設(shè)M(x,y),由題意知|MD|=2|MC|

兩邊平方化簡(jiǎn)得:即(x﹣4)2+(y﹣1)2=4

即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓心(4,1),半徑為2的圓,

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為4π


(2)證明:由A(0,0).C(3,1)知直線(xiàn)AC的方程為:x﹣3y=0,

由D(0,1).F(2,0)知直線(xiàn)DF的方程為:x+2y﹣2=0,

,故點(diǎn)G點(diǎn)的坐標(biāo)為

又點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0),故kEG=2,kDF=﹣

所以kEGkDF=﹣1,即證得:EG⊥DF


【解析】(1)以A為原點(diǎn),AB所在直線(xiàn)為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,即可求出圍成區(qū)域的面積;(2)求出直線(xiàn)AC,DF的方程,可得G的坐標(biāo),計(jì)算kEGkDF=﹣1,即可得到結(jié)論.

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(1)若a是從1,2,3這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率;
(2)若a是從區(qū)間[0,3]中任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.

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【題目】已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(﹣1,5)、B(﹣2,﹣1)、C(4,3).
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(2)求三角形ABC的面積.

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【題目】設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線(xiàn),有如下兩個(gè)命題:q:若m⊥α,n⊥β且m∥n,則α∥β;q:若m∥α,n∥β且m∥n,則α∥β.(
A.命題q,p都正確
B.命題p正確,命題q不正確
C.命題q,p都不正確
D.命題q不正確,命題p正確

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x+t,g(x)=x2﹣t(t∈R)
(1)當(dāng)x∈[2,3]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域(用t表示)
(2)設(shè)集合A={y|y=f(x),x∈[2,3]},B={y|y=|g(x)|,x∈[2,3]},是否存在正整數(shù)t,使得A∩B=A.若存在,請(qǐng)求出所有可能的t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離之比為

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)已知為定直線(xiàn)上一點(diǎn).

①過(guò)點(diǎn)的垂線(xiàn)交軌跡于點(diǎn)不在軸上),求證:直線(xiàn)的斜率之積是定值;

②若點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線(xiàn)交軌跡于不同兩點(diǎn),線(xiàn)段上的點(diǎn)滿(mǎn)足,求證:點(diǎn)恒在一條定直線(xiàn)上.

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【題目】已知{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn , {bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4﹣b4=10.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)記Tn=anb1+an1b2+…+a1bn , n∈N* , 是否存在實(shí)數(shù)p,q,r,對(duì)于任意n∈N* , 都有Tn=pan+qbn+r,若存在求出p,q,r的值,若不存在說(shuō)明理由.

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