如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點(diǎn)，，是線段的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積．

 

 

（1）證明過程詳見試題解析；（2）三棱錐的體積為．

【解析】

試題分析：（1）連接，要證平面，需證∥，而∥易證；

（2）用割補(bǔ)法，用長方體的體積減去四個(gè)三棱錐的體積即可，求得結(jié)果為.

試題解析：（1） 連結(jié)，如圖，

∵、分別是、的中點(diǎn)，是矩形，

∴四邊形是平行四邊形，

∴． 2分

∵平面，平面，

∴平面． 6分

（2） 解法1 連結(jié)，∵正方形的邊長為2，

，∴，，，則，

∴． 8分

又∵在長方體中，，，且，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面，即為三棱錐的高． 10分

∵，

∴． 12分

解法2： 三棱錐是長方體割去三棱錐、三棱錐、三棱錐、三棱錐后所得，而三棱錐、、、是等底等高，故其體積相等．

．

考點(diǎn)：線面平行的判定定理、空間幾何體的表面積和體積.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中是不為零的常數(shù)．

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

 

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若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為( )

(A) 或 (B) (C) (D)或

 

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若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的值分別為（ ）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

 

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已知函數(shù).

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，求在上的最大值；

（3）試證明：對(duì)任意，不等式都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

 

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觀察下列各式：則___________.

 

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給定下列四個(gè)命題：

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另外一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；

②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.

其中為真命題的是（ ）

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④

 

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已知滿足,則的最大值為 .

 

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一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為_____．

 

 

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