設(shè)函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,證明:切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)減區(qū)間為,增區(qū)間,(2),(3)詳見(jiàn)解析.

試題分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性,有四個(gè)步驟.一是求出定義域:,二是求導(dǎo)數(shù),三是分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化情況:,四是根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)寫出對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間:減區(qū)間為,增區(qū)間.(2)已知函數(shù)單調(diào)性研究參數(shù)范圍問(wèn)題,通常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題. 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù),所以對(duì)任意恒成立.而恒成立問(wèn)題又利用變量分離法解決,即對(duì)任意恒成立. 因此(3)求切點(diǎn)問(wèn)題,從設(shè)切點(diǎn)出發(fā),利用切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于切線斜率列等量關(guān)系:.解這類方程,仍需利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性,利用零點(diǎn)存在定理解決.
試題解析:解: (1)時(shí), ,
 ,                  1分
,
的減區(qū)間為,增區(qū)間.                3分
(2)
在區(qū)間上是減函數(shù),
對(duì)任意恒成立,
對(duì)任意恒成立,                5分
對(duì)任意恒成立,
,
,                                       7分
易知單調(diào)遞減,.
.                                            8分
(3)設(shè)切點(diǎn)為,,
切線的斜率,又切線過(guò)原點(diǎn),
,
存在性:滿足方程,
所以,是方程的根.                  11分
再證唯一性:設(shè),,
單調(diào)遞增,且,
所以方程有唯一解.
綜上,切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.                              13分
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如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,給出下列命題:
①-2是函數(shù)的極值點(diǎn)
②1是函數(shù)的極小值點(diǎn)
在x=0處切線的斜率大于零
在區(qū)間(-,-2)上單調(diào)遞減
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