Question

如圖，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長與底邊長都為，點M，N分別在PA，BD上，且．

（1）求證：MN⊥AD；
（2）求MN與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見解析，（2）

試題分析：（1）首先表示正四棱錐各點坐標(biāo)，再準(zhǔn)確把垂直關(guān)系的判定轉(zhuǎn)化為對應(yīng)向量數(shù)量積為零，利用坐標(biāo)形式進(jìn)行計算，（2）直線與平面所成的角的計算，關(guān)鍵仍是平面的法向量的計算.利用向量垂直列出方程組，可解出法向量；再利用數(shù)量積，根據(jù)法向量與直線方向向量的余弦值的絕對值求直線與平面所成角的正弦值. 由于直線與平面所成角與法向量與直線方向向量的夾角不是相等或互補關(guān)系，而是互余或相差因此直線與平面所成角的正弦值等于法向量與直線方向向量的余弦值的絕對值，這是本題易錯點.
試題解析：（1）因為正四棱錐的側(cè)棱長與底邊長都為.
     2分
則

則     4分

     5分
（2）設(shè)平面的法向量為

由得
取得
     7分
則     9分
設(shè)與平面所成角為
則
所以與平面所成角的正弦值為     10分