【題目】已知函數(shù)(為常數(shù), 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線方程是.
(1)求的值;(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)(其中為的導(dǎo)函數(shù)).證明:對(duì)任意,
【答案】(1);(2)單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(3)見(jiàn)解析.
【解析】
【試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程分析求解;(2)依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析求解;(3)先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,再借助導(dǎo)數(shù)分析推證:
(1)由得.由已知得,解得.又,即,.
(2)由(1)得,令,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,又當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,的單調(diào)遞增區(qū)間是,的單調(diào)遞減區(qū)間是
(3)由已知有,于是對(duì)任意等價(jià)于,由(2)知,,易得,當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減.的最大值為,故.設(shè)則,因此,當(dāng),單調(diào)遞增,,故當(dāng)時(shí),,即..對(duì)任意
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,直線yb與C的右支相交于點(diǎn)P,若|PF1|=2|PF2|,則雙曲線C的離心率為_____;若該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是,則雙曲線的方程為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四川省閬中中學(xué)某部根據(jù)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地的影響,但為盡大可能讓學(xué)生都參與到運(yùn)動(dòng)會(huì)中來(lái),在2018春季運(yùn)動(dòng)會(huì)中設(shè)置了五個(gè)項(xiàng)目,其中屬于跑步類的兩項(xiàng),分別是200米和400米,另外三項(xiàng)分別為跳繩、跳遠(yuǎn)、跳高學(xué)校要求每位學(xué)生必須參加,且只參加其中一項(xiàng),學(xué)校780名同學(xué)參加各運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下條形圖:
其中參加跑步類的人數(shù)所占頻率為,為了了解學(xué)生身體健康與參加運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之間的關(guān)系,用分層抽樣的方法從這780名學(xué)生中抽取13人進(jìn)行分析.
1求條形圖中m和n的值以及抽取的13人中參加200米的學(xué)生人數(shù);
2現(xiàn)從抽取的參加400米和跳繩兩個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4人,記其中參加400米跑的學(xué)生人數(shù)為X,求離散型隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-1),則雙曲線的焦距為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),焦點(diǎn)F到直線3x-4y+3=0的距離為d1,焦點(diǎn)F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d2,且。
(1)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若在x軸上存在點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M的直線l分別與拋物線C相交于P、Q兩點(diǎn),且為定值,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)(不與重合),點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn),且點(diǎn)在平面的兩側(cè).
(1)證明:平面平面;
(2)設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn),點(diǎn)分別是和的重心,當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),回答下列問(wèn)題.
(。┳C明:平面;
(ⅱ)求平面與平面所成二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等腰梯形ABCD中,已知AB=AD=CD=1,BC=2,將△ABD沿直線BD翻折成△A′BD,如圖,則直線BA′與CD所成角的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】京劇是我國(guó)的國(guó)粹,是“國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”,為紀(jì)念著名京劇表演藝術(shù)家,京劇藝術(shù)大師梅蘭芳先生,某電視臺(tái)《我愛(ài)京劇》的一期比賽中,2位“梅派”傳人和4位京劇票友(資深業(yè)余愛(ài)好者)在幕后登臺(tái)演唱同一曲目《貴妃醉酒》選段,假設(shè)6位演員的演唱水平相當(dāng),由現(xiàn)場(chǎng)40位大眾評(píng)委和“梅派”傳人的朋友猜測(cè)哪兩位是真正的“梅派”傳人.
(1)此欄目編導(dǎo)對(duì)本期的40位大眾評(píng)委的年齡和對(duì)京劇知識(shí)的了解進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查得到的數(shù)據(jù)如下:
京劇票友 | 一般愛(ài)好者 | 合計(jì) | |
50歲以上 | 15 | 10 | 25 |
50歲以下 | 3 | 12 | 15 |
合計(jì) | 18 | 22 | 40 |
試問(wèn):在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)多少的前提下,可以認(rèn)為年齡的大小與對(duì)京劇知識(shí)的了解有關(guān)系?
(2)若在一輪中演唱中,每猜出一位亮相一位,且規(guī)定猜出2位“梅派”傳人”或猜出5人后就終止,記本輪競(jìng)猜一共競(jìng)猜次,求隨機(jī)變量的分布列與期望.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,,直線l:交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若線段的中點(diǎn)為P,直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且,求直線l的方程.
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