已知動點(diǎn)到的距離比它到軸的距離多一個(gè)單位．
（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程，并求出與曲線及軸所圍成圖形的面積．

（Ⅰ）（Ⅱ）切線的方程為：，所求的圖形的面積為

解析試題分析：（Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
依題意得：動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，
由拋物線定義知：M的軌跡C是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為：．　                                                           　……6分
（Ⅱ）∵曲線C的方程可寫成：，
注意到點(diǎn)在曲線C上，過點(diǎn)N的切線斜率為，
故所求的切線的方程為：即．                                   ……9分
由定積分的幾何意義，所求的圖形的面積
．                                    ……13分
考點(diǎn)：本小題注意考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，切線的求解和定積分的計(jì)算.
點(diǎn)評：解決軌跡方程問題時(shí)，經(jīng)常先根據(jù)定義求出曲線類型再求解，因此圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義尤其重要，要熟練掌握，靈活應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分10分）已知直線與圓的交點(diǎn)為A、B，
（1）求弦長AB；
（2）求過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合.
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）求拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分15分）
已知點(diǎn)，是拋物線上相異兩點(diǎn)，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分10分）
已知一條曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離是到定點(diǎn)距離的二倍，求這條曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍的橢圓經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線平行于，且與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
（ⅰ）若為鈍角，求直線在軸上的截距m的取值范圍；
（ⅱ）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。
（1）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)且垂直于的兩個(gè)焦點(diǎn)所在的軸，若拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)是．
（1）求拋物線的方程及其焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求雙曲線的方程及其離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)（），
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為對角線的菱形的一頂點(diǎn)為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時(shí)直線的方程.

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同步練習(xí)冊答案