Question

【題目】若數(shù)列：，滿足，則稱為數(shù)列，并記.

（1）寫(xiě)出所有滿足，的數(shù)列；

（2）若，，證明：數(shù)列是遞減數(shù)列的充要條件是；

（3）對(duì)任意給定的正整數(shù)，且，是否存在的數(shù)列，使得？如果存在，求出正整數(shù)滿足的條件；如果不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；；；；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，或

【解析】

（1）結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)，列出滿足題意的數(shù)列即可；

（2）結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)，分別從充分性和必要性兩方面證明結(jié)論即可；

（3）令，可得，，可求得的表達(dá)式，，討論表達(dá)式的奇偶性，可得出結(jié)論.

（1）由題意，滿足，的數(shù)列可以是：；；；；.

（2）必要性證明：

因?yàn)閿?shù)列遞減，所以，即，所以是等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為，所以時(shí)，.

充分性證明：

由，可得，即，

則，相加得，即，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，即數(shù)列是遞減數(shù)列.

綜上所述，若，，則數(shù)列是遞減數(shù)列的充要條件是.

（3）設(shè)，則，

所以，

，

，

，

則

，

令，則，

因?yàn)?/span>，所以是偶數(shù)，

所以為偶數(shù)，即或時(shí)，存在滿足題意的數(shù)列，

當(dāng)或時(shí)不存在.

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，存在滿足題意的數(shù)列.