Question

【題目】如圖，已知拋物線和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作直線交于另一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，設(shè)，的縱坐標(biāo)分別為，.求的最小值；

（2）證明：存在的值，使得恒成立.

Answer 1

【答案】（1）的最小值為4；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)出直線與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出，的縱坐標(biāo)，根據(jù)基本不等式即可的最小值；

（2）分不經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q和經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，不經(jīng)過(guò)時(shí)根據(jù)題意可得，由（1）聯(lián)立方程及韋達(dá)定理可得關(guān)于的方程，根據(jù)方程恒成立即可得到的值，再驗(yàn)證經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q即可.

（1）因?yàn)?/span>分別交于A、B兩點(diǎn)，所以不平行于軸.

設(shè)，，

聯(lián)立與C方程，得，

且

由韋達(dá)定理可得.

因?yàn)?/span>分別交于A、B兩點(diǎn)，所以不平行于軸，即，

又因?yàn)?/span>，設(shè)，

聯(lián)立與C方程，得，且，

因?yàn)?/span>N為線段QD的中點(diǎn)，由韋達(dá)定理，，

所以，當(dāng)時(shí)取到等號(hào).

故的最小值為4.

（2）當(dāng)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，等價(jià)于，即，

設(shè)，，

由（1）聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，

又，同理，

所以

于是，，將(*)式代入整理得，

要使該式恒成立，則，解得.

又經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，仍然成立、

所以，存在，使得恒成立.