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【題目】已知動圓M過點且與直線相切.

（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；

（2）斜率為的直線l經過點且與曲線C交于A，B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點N，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）已知條件轉化成圓心M到定點的距離與定直線的距離相等，再利用拋物線的定義求得圓心M的軌跡C的方程；

（2）設直線l的方程為，，，把直線方程代入拋物線方程，利用根與系數的關系，得到的中點坐標，進而得到線段的中垂線方程，令得到點的坐標，把弦長和線段都用表示，再進行比值即可得答案.

（1）由已知可得，點M到點的距離等于點M到直線的距離，所以點M的軌跡是拋物線.

點P為拋物線的焦點，直線即為拋物線的準線.

設拋物線C的方程為，所以，所以，

故動圓圓心M的軌跡C的方程為.

（2）由已知可得直線l的方程為，記，.

由消去y整理可得.

由根與系數關系可得，所以.

所以AB的中點坐標為.

所以線段AB的中垂線方程為.

令，可得，所以.

所以.

又由拋物線的定義可知.

所以.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，，∠ABD=∠ADB.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，，，，，點為的中點，求平面切割三棱錐得到的上下兩個幾何體的體積之比.

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【題目】已知函數且.

（1）求的定義域；

（2）判斷的奇偶性并予以證明；

（3）求滿足的的解集.

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【題目】某校開展“我身邊的榜樣”評選活動，現對3名候選人甲、乙、丙進行不記名投票，投票要求詳見選票．這3名候選人的得票數（不考慮是否有效）分別為總票數的88%，75%，46%，則本次投票的有效率（有效票數與總票數的比值）最高可能為百分之________．

“我身邊的榜樣”評選選票

候選人

符號

注：

1．同意畫“○”，不同意畫“×”．

2．每張選票“○”的個數不超過2時才為有效票．

甲

乙

丙

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【題目】對于非負整數集合（非空），若對任意，或者，或者，則稱為一個好集合．以下記為的元素個數．

（1）給出所有的元素均小于的好集合．（給出結論即可）

（2）求出所有滿足的好集合．（同時說明理由）

（3）若好集合滿足，求證：中存在元素，使得中所有元素均為的整數倍．

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【題目】為調研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯考中，參考的文科生與理科生人數之比為，且成績分布在的范圍內，規(guī)定分數在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構成以2為公比的等比數列.

（1）求的值；

（2）填寫下面列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關？

文科生

理科生

合計

獲獎

6

不獲獎

合計

400

（3）將上述調查所得的頻率視為概率，現從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學生人數為，求的分布列及數學期望.

附：，其中.

.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中點，AC，BD交于點O.

（1）求證：OE∥平面PBC；

（2）求三棱錐E﹣PBD的體積.

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【題目】在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛(wèi)生運動，從人居環(huán)境改善、飲食習慣、社會心理健康、公共衛(wèi)生設施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習，提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調查，隨機收集了該區(qū)居民六類日常生活習慣的有關數據.六類習慣是：（1）衛(wèi)生習慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規(guī)律狀況類.經過數據整理，得到下表：

衛(wèi)生習慣狀況類

垃圾處理狀況類

體育鍛煉狀況類

心理健康狀況類

膳食合理狀況類

作息規(guī)律狀況類

有效答卷份數

380

550

330

410

400

430

習慣良好頻率

0.6

0.9

0.8

0.7

0.65

0.6

假設每份調查問卷只調查上述六類狀況之一，各類調查是否達到良好標準相互獨立.

（1）從小組收集的有效答卷中隨機選取1份，求這份試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者的概率；

（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計他在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣的概率；

（3）利用上述六類習慣調查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習慣良好者（）.寫出方差，，，，，的大小關系.

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【題目】某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的100人的得分（滿分：100分）數據，統(tǒng)計結果如表所示：

組別

男

2

3

5

15

18

12

女

0

5

10

10

7

13

(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關注者”，請完成答題卡中的列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否為“環(huán)保關注者”與性別有關？

(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”．視頻率為概率．

①在我市所有“環(huán)保達人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率；

②為了鼓勵市民關注環(huán)保，針對此次的調查制定了如下獎勵方案：“環(huán)保達人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表：

紅包金額（單位：元）

10

20

概率

現某市民要參加此次問卷調查，記（單位：元）為該市民參加間卷調查獲得的紅包金額，求的分布列及數學期望．

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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