【題目】已知定點M(﹣ ),N是圓C:(x﹣ 2+y2=16(C為圓心) 上的動點,MN的垂直平分線與NC交于點E.
(1)求動點E的軌跡方程C1;
(2)直線l與軌跡C1交于P,Q兩點,與拋物線C2:x2=4y交于A,B兩點,且拋物線C2在點A,B處的切線垂直相交于S,設(shè)點S到直線l的距離為d,試問:是否存在直線l,使得d= ?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:依題意有:|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4,故動點E的軌跡為以M,C為焦點,長軸為4的橢圓.

于是: ,從而 ,故動點E的軌跡方程C1為:


(2)解:設(shè)直線l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3)Q(x4,y4),由

得:x2﹣4kx﹣4m=0,故x1+x2=4k,x1x2=﹣4m.

由x2=4y得: ,即切線斜率

于是: ,

由PA⊥PB得;

解得:m=1,

這說明直線l過拋物線C2的焦點F,由

得: 即S(2k,﹣1).

于是:點S(2k,﹣1)到直線l:kx﹣y+1=0的距離 ,

得:(1+2k2)x2+4kx﹣2=0,

從而 ,

同理:|AB|=4(1+k2),

化簡整理,得:28k4+36k2+7=0,此方程無解,

所以不存在直線l,使得


【解析】(1)由題意可知::|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4,故動點E的軌跡為以M,C為焦點,長軸為4的橢圓,分別求得a、b和c的值,求得動點E的軌跡方程C1;(2)設(shè)出直線l的方程,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理求得x1+x2及x1x2 , 利用導(dǎo)數(shù)法求得直線PA和PB的斜率,由PA⊥PB,求得m的值,直線l過拋物線C2的焦點F,求得交點S的坐標(biāo),根據(jù)點到直線的距離公式,求得S到到直線l:kx﹣y+1=0的距離d,根據(jù)弦長公式求得丨PQ丨及|AB|,由 ,求得28k4+36k2+7=0,此方程無解,不存在直線l,使得

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