【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)若直線與曲線交于、兩點,設,求的值.
【答案】(1),;(2).
【解析】
(1)在曲線的極坐標方程中,由,可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù),可得出直線的普通方程;
(2)將直線的參數(shù)方程表示為(為參數(shù)),并設點、對應的參數(shù)分別為、,將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立,得出關于的二次方程,并列出韋達定理,可計算出的值.
(1)在曲線的極坐標方程中,由,可得出曲線的普通方程為,即.
在直線的參數(shù)方程中消去得,即;
(2)直線的參數(shù)方程表示為(為參數(shù)),
并設點、對應的參數(shù)分別為、,
將直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標方程聯(lián)立,消去、得.
由韋達定理得,.
因此,.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,且,平面PCD⊥平面ABCD,,點E為線段PC的中點,點F是線段AB上的一個動點.
(1)求證:平面平面PBC;
(2)設二面角的平面角為,試判斷在線段AB上是否存在這樣的點F,使得,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)
(1)當時,解不等式
(2)若關于的方程的解集中怡好有一個元素,求的取值范圍;
(3)設若對任意函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1,求的取值范圍.
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【題目】給出下列四個說法,其中正確的是( )
A.命題“若,則”的否命題是“若,則”
B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件
C.命題“,”的否定是“,”
D.命題“在中,若,則是銳角三角形”的逆否命題是假命題
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【題目】某企業(yè)為了檢查生產產品的甲、乙兩條流水線的生產情況,隨機地從這兩條流水線上生產的大量產品中各抽取50件產品作為樣本,測出它們的這一項質量指標值.若該項質量指標值落在內,則為合格品,否則為不合格品.下表是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,下圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
甲流水線樣本的頻數(shù)分布表
質量指標值 | 頻數(shù) |
9 | |
10 | |
17 | |
8 | |
6 |
乙流水線樣本的頻率分布直方圖
(1)根據(jù)圖形,估計乙流水線生產的產品的該項質量指標值的中位數(shù);
(2)設該企業(yè)生產一件合格品獲利100元,生產一件不合格品虧損50元,若某個月內甲、乙兩條流水線均生產了1000件產品,若將頻率視為概率,則該企業(yè)本月的利潤約為多少元?
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【題目】張軍自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經營一家干果店,銷售的干果中有松子、開心果、腰果、核桃,價格依次為120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克,為增加銷量,張軍對這四種干果進行促銷:一次購買干果的總價達到150元,顧客就少付x(2x∈Z)元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,張軍會得到支付款的80%.
①若顧客一次購買松子和腰果各1千克,需要支付180元,則x=________;
②在促銷活動中,為保證張軍每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為_____.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,點是橢圓的一個頂點,是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點分別作直線,交橢圓于,兩點,設兩直線的斜率分別為,,且,證明:直線過定點.
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