Question

【題目】如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）設(shè)點(diǎn)M是線(xiàn)段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，

所以DE⊥AC．

因?yàn)锳BCD是正方形，

所以AC⊥BD，因?yàn)镈E∩BD=D

從而AC⊥平面BDE．

（2）解：當(dāng)M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)，即3BM=BD時(shí)，AM∥平面BEF．

取BE上的三等分點(diǎn)N，使3BN=BE，連接MN，NF，則DE∥MN，且DE=3MN，

因?yàn)锳F∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，

故四邊形AMNF是平行四邊形．

所以AM∥FN，

因?yàn)锳M平面BEF，F(xiàn)N平面BEF，

所以AM∥平面BEF．

【解析】（1）根據(jù)DE⊥平面ABCD，由線(xiàn)面垂直的判定定理可知DE⊥AC，由ABCD是正方形可知AC⊥BD，而DE∩BD=D，滿(mǎn)足線(xiàn)面垂直的判定所需條件，從而證得結(jié)論；（2）當(dāng)M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)，即3BM=BD時(shí)，AM∥平面BEF．取BE上的三等分點(diǎn)N，使3BN=BE，連接MN，NF，則DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，則四邊形AMNF是平行四邊形，從而AM∥FN，AM平面BEF，F(xiàn)N平面BEF，滿(mǎn)足線(xiàn)面平行的判定定理，從而證得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定和直線(xiàn)與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．