如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AD∥BC,∠BCD=900,PA=PB,PC=PD.
(I) 試判斷直線CD與平面PAD是否垂直,并簡(jiǎn)述理由;
(II)求證:平面PAB⊥平面ABCD;
(III)如果CD=AD+BC,二面角P-CB-A等于600,求二面角P-CD-A的大小.
(I)不垂直.理由見解析;(II)詳見解析;(III)二面角P-CD-A的大小為600.
解析試題分析:(I)首先結(jié)合條件憑借自己的空間想象力判斷.在本題中,PC=PD,則∠PCD=∠PDC不為直角,由此可知,直線CD與平面PAD不可能垂直.(II)證面面垂直,首先考慮證哪條線垂直哪個(gè)面.結(jié)合題設(shè)PA=PB取AB的中點(diǎn)E ,則PE⊥AB.再結(jié)合結(jié)論可知必有PE⊥平面ABCD,所以我們就考慮證明PE⊥平面ABCD.
(III)取AB、CD的中點(diǎn)有E、F,連結(jié)PE,PF,EF,則易得∠PFE即為二面角P-CD-A的平面角,且三角形PEF是一個(gè)直角三角形. 利用題設(shè)找到邊與邊的關(guān)系,在三角形PEF中即可求得∠PFE的大小.
試題解析:(I)不垂直
假設(shè)直線CD與平面PAD垂直,則CD⊥PD。
而在△PCD中,由PC=PD得∠PCD=∠PDC
∴∠PDC<900,這與CD⊥PD矛盾,
因此, 直線CD與平面PAD不垂直。
(II)取AB、CD的中點(diǎn)有E、F,連結(jié)PE,PF,EF,
由PA=PB,PC="PD," 得 PE⊥AB,PF⊥CD.
∵EF為直角梯形的中位線 ∴EF⊥CD、
又PFEF=F ∴CD⊥平面PEF
由PE平面PEF ∴CD⊥PE
又梯形的兩腰AB與CD必相交,∴PE⊥平面ABCD
又PE平面PAB ∴平面PAB⊥平面ABCD
(III)∠PFE即為二面角P-CD-A的平面角
作EG⊥BC于G,連PG。由三垂線定理得BC⊥PG,則∠PGE為二面角P-BC-A的平面角即∠PGE=600
由已知得EF=(AD+BC)=,EG=CF=CD,∴EF=EG
而 ∴∠PFE=∠PGE=600
即二面角P-CD-A的大小為600。
考點(diǎn):1、空間線面垂直關(guān)系;2、二面角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四邊形ABCD為正方形,PA平面ABCD,且AD= 2PA,E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點(diǎn).
(I)求證:BC∥平面EFG;
(II)求證:DH平面AEG.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)如圖,在四面體A?BCD中,AD^平面BCD,BC^CD,AD=2,BD=2.M是AD的中點(diǎn).
(1)證明:平面ABC平面ADC;
(2)若ÐBDC=60°,求二面角C?BM?D的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖1,在直角梯形中,,,,. 把沿對(duì)角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上,連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
正方體的棱長(zhǎng)為,線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A. |
B.三棱錐的體積為定值 |
C.二面角的大小為定值 |
D.異面直線所成角為定值 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的正切值;
(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥B1C;
(2)求證:AC1∥平面B1CD;
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