Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：，過(guò)其焦點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.

（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若不過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，且.求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)線(xiàn)段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線(xiàn)的斜率為1，利用拋物線(xiàn)的方程，求解，即可得到拋物線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)：，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，再由得，即可得到結(jié)論．

（1）設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

則，，兩式相減得.

即，

又線(xiàn)段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線(xiàn)的斜率為1，∴，∴.

即拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線(xiàn)：與拋物線(xiàn)：交于點(diǎn)，，

則，

，∴，

∴，，

由得，即，，

直線(xiàn)為，∴過(guò)定點(diǎn).