Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）已知，是曲線上的兩點(diǎn)，若曲線上存在點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（Ⅰ）連結(jié)QF，由已知條件推導(dǎo)出|QP|＝|QF|，從而得到|QE|+|QF|＝PE＝2，由此推導(dǎo)出點(diǎn)Q的軌跡方程T是以E（﹣1，0）和F（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而能求出點(diǎn)Q的軌跡方程T．

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，把y＝kx+m代入橢圓，得（1+2k2）x2+4kx+2m2﹣2＝0，分m＝0和m≠0兩種情況進(jìn)行討論，能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解：（Ⅰ）如圖，連結(jié)QF，

∵點(diǎn)E（﹣1，0）和F（1，0），

圓E是以E為圓心，半徑為的圓，點(diǎn)P是圓E上任意一點(diǎn)，

線段FP的垂直平分線l和半徑EP所在的直線交于點(diǎn)Q，

∴|QP|＝|QF|，∴|QE|+|QF|＝PE＝2，

∴點(diǎn)Q的軌跡方程T是以E（﹣1，0）和F（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，

且2a＝2，a，c＝1，∴b＝1，

∴點(diǎn)Q的軌跡方程T：．

（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N的直線為l，由題意和l的斜率存在，

設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，

把y＝kx+m代入橢圓，

整理，得（1+2k2）x2+4kx+2m2﹣2＝0，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），

則，x1x2，

∴y1+y2＝k（x1+x2）+2m，

①當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則λ＝0；

②當(dāng)m≠0時(shí)，點(diǎn)M，N不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則λ≠0，

∵，

∴x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，

∴，y0，

∵點(diǎn)P在上，

∴[]2+2[]2＝2，

化簡(jiǎn)，得4m2（1+2k2）＝λ2（1+k2）2，

∵1+2k2≠0，∴4m2＝λ2（1+2k2），①

又∵△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）

＝8（1+2k2﹣m2）＞0，

∴1+2k2＞m2，②

聯(lián)立①②及m≠0，得λ2＜4，∴﹣2＜λ＜2，且λ≠0．

綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（﹣2，2）．