【題目】解答題。
(1)偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,求滿足f(2x﹣1)>f(3)的x的取值范圍
(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=log2(x+1).解關(guān)于x的不等式f(x)>1.

【答案】
(1)解:∵f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=f(|x|),

∴f(2x﹣1)=f(|2x﹣1|),

則不等式f(2x﹣1)>f(3)轉(zhuǎn)化為:f(|2x﹣1|)>f(3),

∵偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為單調(diào)遞減,

∴|2x﹣1|<3,解得﹣1<x<2,

則不等式的解集是:(﹣1,2)


(2)解:∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=1,

∴f(x)在在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,且f(﹣1)=1,

∵關(guān)于x的不等式f(x)>1,∴x<﹣1,或x>1,

故原不等式的解集為{x|x>1,或x<﹣1}


【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),可知f(x)=f(|x|),將不等式f(2x﹣1)>f(3)轉(zhuǎn)化為:f(|2x﹣1|)>f(3),再運(yùn)用f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,去掉“f”,列出關(guān)于x的不等式,求解即可得到x的取值范圍.(2)由題意可得 f(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,且f(﹣1)=1,由不等式f(x)>1,可得x的范圍.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

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