Question

△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c且滿足（2a-c）cosB=bcosC，
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面積為

3 3

4

且b=

3

，求a+c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式可得sin（C+B）=sinA，再對(duì)已知（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡(jiǎn)可求B
（2）結(jié)合三角形的面積公式S=

1

2

acsinB，可求ac，由已知b，B，再利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB可求a+c

解答： 解：（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，
將（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，
在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，則B=

π

3

（2）∵△ABC的面積為

3 3

4

，sinB=sin

π

3

=

3

2

，
∴S=

1

2

acsinB=

3

4

ac=

3 3

4

，∴ac=3，又b=

3

，cosB=cos

π

3

=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=（a+c）²-9=3，
∴（a+c）²=12，則a+c=2

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是要是考生具備綜合應(yīng)用公式的能力