Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-

3

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時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 當(dāng)a＞0時，函數(shù)g（x）=f（x）+3-2ax在區(qū)間[1，2]上存在實數(shù)x，使得g（x）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a=-

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代入函數(shù)解析式，解不等式f′（x）＞0即可；
（Ⅱ）在區(qū)間[1，2]上存在實數(shù)x，使得g（x）＜0成立，等價于x∈[1，2]時，g（x）_min＜0，而g（x）=x³-3ax²+4，g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），令g′（x）=0可得x=0或x=2a，按照2a在區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況進行討論可得g（x）_min；

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-

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時，函數(shù)為f（x）=x³+

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x²-

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x+1，
則由f′（x）=3x²+

9

4

x-

3

4

＞0，得x＜-1或x＞

1

4

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（

1

4

，∞）．
（Ⅱ）g（x）=x³-3ax²+4，則g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
令g′（x）=0，解得x=0或x=2a，
在區(qū)間[1，2]上存在實數(shù)x，使得g（x）＜0成立，等價于x∈[1，2]時，g（x）_min＜0，
（1）若0＜a≤

1

2

，在區(qū)間x∈[1，2]時，g′（x）≥0，即g（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴有g(shù)（x）_min=g（1）＜0，解得a＞

5

3

，不合題意；
（2）若

1

2

＜a＜1，在[1，2a]上函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，在[2a，2]上函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
∴有g(shù)（x）_min=g（2a）＜0，解得a＞1，不合題意；
（3）若a≥1，當(dāng)x∈[1，2]時，g′（x）≤0，即g（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴有g(shù)（x）_min=g（2）＜0，解得a＞1，∴a＞1；
綜上所述，a的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查“能成立”問題，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．